объем конуса равен 9 пи, его образующая составляет с плоскостью основания угол 45 градусов Найдите высоту конуса
Ответы на вопрос:
Рассмотрим сечение конуса через вершину, перпендикулярное основанию.
Получится равнобедренный треугольник с углами у основания по 45 градусов и равными боковыми сторонами по 8 см.
Так как два угла треугольника-сечения известны (по 45), то можно посчитать оставшийся угол = 180 - 45 - 45 = 90. Следовательно, треугольник прямоугольный.
Диаметр (или 2 радиуса) основания конуса будет равен основанию прямоугольника (то есть неизвестной пока стороне. По совместительству, эта сторона будет являться гипотенузой.
По теореме Пифагора, гипотенуза равна корню квадратному из суммы квадратов катетов. То есть \sqrt{ 8^{2} + 8^{2} } = \sqrt {64 + 64} = \sqrt{128} = 8 \sqrt{2}
8
2
+8
2
=
64+64
=
128
=8
2
Мы нашли гипотенузу сечения, а следовательно и диаметр конуса.
Диаметр = 2 радиусам. Т.е. радиус = 4 \sqrt{2}4
2
Формула объёма конуса:
V = \frac{1}{3} \pi r^{2} hV=
3
1
πr
2
h
Осталось найти высоту.
Из вершины треугольника-сечения опустим высоту. Она попадёт прямо на середину его основания, т.е. поделит его пополам. Эта высота образует прямоугольный треугольник, где высота и радиус конуса будут катетами, а образующая конуса - гипотенузой.
Найдём по теореме Пифагора высоту:
h = \sqrt{8^{2} - (4\sqrt{2})^{2}} = \sqrt{64 - 32} = \sqrt{32} = 4 \sqrt{2}h=
8
2
−(4
2
)
2
=
64−32
=
32
=4
2
Подставляем в формулу объёма конуса всё найденное:
V = \frac{1}{3} \pi r^{2} h = \frac{ \pi * (4 \sqrt{2})^2* 4 \sqrt{2} }{3} = \frac{ \pi *128 \sqrt{2} }{3}V=
3
1
πr
2
h=
3
π∗(4
2
)
2
∗4
2
=
3
π∗128
2
Если у вас \piπ приравнивается к 3, то тройки сократятся и сотанется только 128 \sqrt{2}128
2
Популярно: Геометрия
-
SlavaArt08.12.2022 15:42
-
slender2429.05.2023 12:28
-
Viktoriya2410128.06.2020 21:11
-
Sm11200418.12.2021 08:16
-
chernenkopolina04.01.2023 18:19
-
Катер00703.06.2020 03:26
-
NastyaPaz22.08.2021 10:39
-
enderrock8424.04.2021 15:23
-
SSultanShaS06.03.2020 10:41
-
lagapep17.01.2022 04:57