Доказать признак перпегдикулярности прямой и плоскости

218

261

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

Глеб0417

Геометрия

4,7(92 оценок)

Доказательство: пусть а прямая, перпендикулярная прямым b и c в плоскости . тогда прямая а проходит через точку а пересечения прямых b и c . докажем, что прямая а перпендикулярна плоскости . проведем произвольную прямую х через точку а в плоскости и покажем, что она перпендикулярна прямой а. проведем в плоскости произвольную прямую, не проходящую через точку а и пересекающую прямые b , c и х . пусть точками пересечения будут в , с и х . отложим на прямой а от точки а в разные стороны равные отрезки аа 1 и аа 2. треугольник а 1са 2 равнобедренный, так как отрезок ас является высотой по условию теоремы и медианой по построению ( аа 1 =аа 2). по той же причине треугольник а 1 ва 2 тоже равнобедренный. следовательно, треугольники а 1вс и а 2 вс равны по трем сторонам. из равенства треугольников а 1вс и а 2вс следует равенство углов а 1вх и а 2вх и, следовательно равенство треугольников а 1вх и а 2 вх по двум сторонам и углу между ними. из равенства сторон а 1х и а 2х этих треугольников заключаем, что треугольник а 1ха 2 равнобедренный. поэтому его медиана ха является также высотой. а это и значит, что прямая х перпендикулярна а. по определению прямая а перпендикулярна плоскости . теорема доказана.