Регистрация
egorikmail826
05.03.2020 07:47
Математика
Есть ответ 👍

Решение дифференциального уравнения первого порядка методом Бринелля (1+x^2)y-2xy=(1+x^2)^2 y0=5 x0=2

276
434
Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

katyafedorenko1
katyafedorenko1
4,6(45 оценок)

(1 + {x}^{2} )y - 2xy = {(1 + {x}^{2} )}^{2}

разделим на (1+х^2)

y - \frac{2xy}{1 + {x}^{2} } = 1 + {x}^{2}

это ЛДУ

замена:

y = UV \\ y = U'V + V'U

U'V + V'U - \frac{2xUV}{1 + {x}^{2} } = 1 + {x}^{2} \\ U'V + U(V'- \frac{2xV}{1 + {x}^{2} } ) = 1 + {x}^{2}

1)V' - \frac{2xV}{1 + {x}^{2} } = 0 \\ \frac{dV}{dx} = \frac{2xV}{1 + {x}^{2} } \\ \int\limits \frac{dV}{V} = \int\limits \frac{2xdx}{1 + {x}^{2} } \\ ln(V) = \int\limits \frac{d(1 + {x}^{2}) }{1 + {x}^{2} } \\ ln(V) = ln(1 + {x}^{2} ) \\ v = 1 + {x}^{2}

U'V = 1 + {x}^{2} \\ \frac{dU}{dx} \times (1 + {x}^{2} ) = 1 + {x}^{2} \\ \int\limits \: dU = \int\limits \: dx \\ U = x + C

y = (1 + {x}^{2} )(x + C) = \\ = {x}^{3} + C {x}^{2} + x + C

общее решение

y(2) = 5

5 = {2}^{3} + C {2}^{2} + 2 + C \\ 4C + C = 5 - 8 - 2 \\ 5C = - 5 \\ C= - 1

y = {x}^{3} - {x}^{2} + x - 1

частное решение

Artem19092002
Artem19092002
4,5(12 оценок)
Да да правильно говорят

Популярно: Математика