Даны координаты трёх точек А(3;-6;-3) В(8;-5;-3) С (6;-1;1) . Требуется 1) Записать векторы АВ и АС и найти модули этих векторов. 2) найти угол между векторами АВ и АС . 3) найти уравнение плоскости , проходящей через точку С перпендикулярно вектору АВ

Відповідь:

Аналитическая геометрия

Даны вершины A1, A2, A3, A4. По координатам вершин пирамиды найти:

Длины ребер A1A2 и A1A3, угол между ребрами A1A2 и A1A3;

Площадь грани A1A2A3, объем пирамиды A1A2A3A4;

Уравнение прямой, проходящей через точки A1 и A2, уравнение прямых A2A3 и A1A3;

Уравнение плоскостей A1A2A3 и A1A2A4, угол между плоскостями A1A2A3 и A1A2A4;

Записать вектора AB(A1A2) и AC (A1A3 в системе орт), проекцию вектора AD на вектор AB.

Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору, уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данной плоскости

Длину высоты пирамиды, проведенной из вершины, уравнение высоты пирамиды через вершину, расстояние от точки до плоскости.

ИНСТРУКЦИЯ. Для решения подобных задач в онлайн режиме заполните координаты вершин, нажмите Далее. см. также по координатам треугольника найти.

Решение онлайн

Видеоинструкция

Оформление Word

Использовать обозначение A1, A2, A3, A4

Заполните координаты вершин

A1 (

0

;  

0

;  

0

)

A2 (

0

;  

0

;  

0

)

A3 (

0

;  

0

;  

0

)

A4 (

0

;  

0

;  

0

)

НАЙТИ

1. Угол между ребрами  

A1A2

A1A3

2. Координаты точки М, делящий  

A1A2

в отношении:  

1

:  

1

Подробнее

3. Уравнение плоскости, проходящей через точку  

A3

перпендикулярно вектору  

A1A2

4. Уравнение высоты пирамиды через вершину  

A4

и ее длину (расстояние от точки до плоскости)

5. Угол между прямой  

A1A2

и плоскостью  

A1A2A3

6. Угол между плоскостью  

A1A2A3

и плоскостью  

A1A2A4

7. Проекция вектора  

A1A2

на вектор  

A1A3

8. Уравнение плоскости через вершину  

A4

параллельно плоскости

ВЫВОДИТЬ В ОТЧЕТ:

Разложение координат в системе орт

Объем пирамиды

Площадь грани A1A2A3 Площадь грани A1A2A4

Площадь грани A1A3A4 Площадь грани A2A3A4

Уравнение прямой A1A2 Уравнение прямой A1A3

Уравнение прямой A1A4 Уравнение прямой A2A3

Уравнение прямой A2A4 Уравнение прямой A3A4

Уравнение плоскости A1A2A3 Уравнение плоскости A1A2A4

Уравнение плоскости A1A3A4 Уравнение плоскости A2A3A4

Рисунок пирамиды

ДалееПолученное решение сохраняется в файле Word.

ПРИМЕР №1. В пирамиде SABC: треугольник ABC - основание пирамиды, точка S – ее вершина. Даны координаты точек A, B, C, S. Сделать чертеж.

Решение: Координаты векторов находим по формуле: X = x2 - x1; Y = y2 - y1; Z = z2 - z1

Так, для вектора AB, это будут координаты: X = 0-2; Y = 3-0; Z = 0-0, или AB(-2;3;0).

AC(-2;0;1); AD(-2;2;3); BC(0;-3;1); BD(0;-1;3); CD(0;2;2).

Длину вектора находим по формуле:

Решение

Видео решение

Для наших данных:

Угол между векторами a1 и a2 находят с формулы:

γ = arccos(0.67) = 47.930

Найдем площадь грани с учётом геометрического смысла векторного произведения:

Векторное произведение:

Объем пирамиды, построенный на векторах равен:

Прямая, проходящая через точки A1(x1; y1; z1) и A2(x2; y2; z2), представляется уравнением:

или , z = 0.

Уравнение плоскости, при условии, что точки A1(x1; y1; z1), A2(x2; y2; z2), A3(x3; y3; z3) не лежат на одной прямой, представляется уравнением:

Уравнение плоскости ABC запишем как:

или 3x + 2y + 6z-6 = 0

Длина высоты пирамиды, проведенной из вершины D, выражается формулой:

Угол между прямой AD и плоскостью ABC пирамиды можно найти по формуле:

γ = arcsin(0.55) = 33.40

ПРИМЕР №2. В тетраэдре ABCD вычислить:

объем тетраэдра ABCD;

высоту тетраэдра, опущенную из вершины D на грань ABC.

A(2, 3, -2), B(3, 1, 0), C(-2, 2, 1), D(6, 1, -1)

Покрокове пояснення:

(−1,3,6),B(−6,2,6),C(−3,7,10).

1)

AB

=(−6+1,2−3,6−6)=(−5,−1,0)

AB

=−5

i

−

j

,∣

AB

∣=

25+1

=

26

AC

=(−3+1,7−3,10−6)=(−2,4,4)

AC

=−2

i

+4

j

+4

k

,∣

AC

∣=

4+16+16

=

36

=6

\begin{gathered}2)\; \; \overline {AB}\cdot \overline {AC}=10-4+0=6cos\varphi =\frac{\overline {AB}\cdot \overline {AC}}{|\overline {AB}|\cdot |\overline {AC}|} =\frac{6}{\sqrt{26}\cdot 6}=\frac{1}{\sqrt{26}}varphi =arccos\frac{1}{\sqrt{26}}\end{gathered}

2)

AB

⋅

AC

=10−4+0=6

cosφ=

∣

AB

∣⋅∣

AC

∣

AB

⋅

AC

=

26

⋅6

6

=

26

1

φ=arccos

26

1

\begin{gathered}3)\; \; A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0-5\cdot (x+3)-1\cdot (y-7)+0\cdot (z-10)=0-5x-y-8=0pi :\; \; 5x+y+8=0\end{gathered}

3)A(x−x

0

)+B(y−y

0

)+C(z−z

0

)=0

−5⋅(x+3)−1⋅(y−7)+0⋅(z−10)=0

−5x−y−8=0

π:5x+y+8=0

ну вроде так