Математика: Чему равна наибольшая аликвотная дробь?

molkes

29.01.2020 10:14

Математика

Есть ответ 👍

Чему равна наибольшая аликвотная дробь?

210

416

Посмотреть ответы 3

Ответы на вопрос:

AngelRush0

Математика

4,5(28 оценок)

Доля единицы (аликвотная дробь) — это рациональное число в виде дроби, числитель которой равен единице, а знаменатель — положительное целое число. Доля единицы, таким образом, является обратным числом положительного целого числа, 1/n.

seva116

Математика

4,5(78 оценок)

ответ:1/n

Пошаговое объяснение:

Это число можно грубо, но довольно просто оценить.

Обозначим наше число $\dfrac{p}{q}=x$. Очевидно, что наибольшее значение суммы $n$ аликвотных дробей (если не считать $1$ таковой) равно $H_{n+1}-1$, где $H_n=\sum\limits_{k=1}^n \dfrac{1}{k}$. Но $H_n<\ln n+\dfrac{1}{2n}+\gamma$ ($\gamma$ $\text{---}$ постоянная Эйлера-Маскерони), поэтому при $x\ge \ln (n+1)+\dfrac{1}{2(n+1)}+\gamma -1$ искомое число равно 0.

Наименьшее значение суммы $n$ аликвотных дробей со знаменателями, не превышающими $m$, равно $H_{m}-H_{m-n}$. Но $H_n>\ln n+\dfrac{1}{2(n+1)}+\gamma$, поэтому наибольшее значение $m$ (обозначим его $M$) равно $M=\left\lfloor m^*\right\rfloor$, где $m^*$ $\text{---}$ (положительный) корень уравнения $\ln \dfrac{m^*}{m^*-n}-\dfrac{n+1}{2(m^*+1)(m^*+n)}=x$. Следовательно, искомое число не превышает $\binom{M-1}{n}$.