Корни уравнения x² + ax + b + 1=0 являются натуральными числами. Докажите, a² + b² - составное число.

270

314

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

Катя180982

Алгебра

4,6(69 оценок)

Объяснение:

По теореме Виета

$(b+1)=x_{1} x_{2}\\a=-(x_{1}+ x_{2})$

Тогда

$a^{2}=(x_{1}+ x_{2})^{2}$

$b^{2} =(x_{1}x_{2}-1)^{2}$

$a^{2} +b^{2} =x_{1}^{2}+x_{2}^{2} +x_{1}^{2} x_{2}^{2} +1=(1+x_{1}^{2})(1+x_{2}^{2})$

Так как корни по условию натуральные, то число $a^{2} +b^{2}$ составное, что и требовалось доказать.

HastWay

Алгебра

4,5(29 оценок)

Левая часть положительна только на интервалах (-9,-3) и (2,6), а правая положительна всегда (0 не корень). поэтому, если нас интересуют только целые корни, то они могут быть только -8,-7,-6,-5,-4, 3, 4, 5. 1) -8 не подходит, т.к. слева есть множитель x+3, и, значит -8+3=-5 должно делить правую часть 24*8^2, что не выполняется 2) аналогично, -7 не подходит, т.к. слева есть множитель -7-2=-9, который должен делить 24*9^2, что не выполняется. 3) -6 - корень (проверяем подстановкой) 4) -5 - не корень, т.к. )=11 - не делит правую часть 5) -4 - не корень, т,к. 9-4=5 не делит правую часть 6) 3 - корень (проверяем подстановкой) 7) 4 - не корень, т.к. слева есть множитель 4+3=7, а справа его нет 8) 5 не корень, т.к. слева есть 9+5=14, а правая часть на 7 не делится. итак, целые корни -6 и 3.