Регистрация
abc71
15.04.2021 16:05
Алгебра
Есть ответ 👍

в ящике стола лежат три синих ручки 3 черных и 2 красных ручки выберите верные утверждения и запишите в ответе их номера

214
414
Посмотреть ответы 1

Ответы на вопрос:

nikita112289
nikita112289
4,4(74 оценок)

1+\text{tg}\,5\beta\,\text{tg}\,10\beta = \dfrac{1}{\cos10\beta}1+\text{tg}\,5\beta\,\text{tg}\left(2\cdot5\beta\right) = \dfrac{1}{\cos10\beta}

Воспользуемся формулой тангенса двойного угла:

\boxed{\boldsymbol{\text{tg}\,2\alpha = \dfrac{2\,\text{tg}\,\alpha}{1-\text{tg}^2\alpha}}}

Тогда у нас:

\boxed{\text{tg}\left(2\cdot5\beta\right) = \dfrac{2\,\text{tg}\,5\beta}{1-\text{tg}^2\,5\beta}}

Заменяем в условии:

1+\text{tg}\,5\beta\cdot\dfrac{2\,\text{tg}\,5\beta}{1-\text{tg}^2\,5\beta} = \dfrac{1}{\cos10\beta}

Выполним умножение:

1+\dfrac{2\,\text{tg}^2\,5\beta}{1-\text{tg}^2\,5\beta} = \dfrac{1}{\cos10\beta}

В левой части приводим слагаемые к одному знаменателю:

\dfrac{1-\text{tg}^2\,5\beta + 2\,\text{tg}^2\,5\beta}{1-\text{tg}^2\,5\beta} = \dfrac{1}{\cos10\beta}dfrac{1+\text{tg}^2\,5\beta}{1-\text{tg}^2\,5\beta} = \dfrac{1}{\cos10\beta}

Так как  \text{tg}\,\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} , то:

\dfrac{1 + \left(\dfrac{\sin5\beta}{\cos5\beta}\right)^2}{1 - \left(\dfrac{\sin5\beta}{\cos5\beta}\right)^2} = \dfrac{1}{\cos10\beta}dfrac{1+\dfrac{\sin^25\beta}{\cos^25\beta}}{1-\dfrac{\sin^25\beta}{\cos^25\beta}} = \dfrac{1}{\cos10\beta}

Приводим к одному знаменателю:

\dfrac{\dfrac{\cos^25\beta + \sin^25\beta}{\cos^25\beta}}{\dfrac{\cos^25\beta - \sin^25\beta}{\cos^25\beta}}} = \dfrac{1}{\cos10\beta}dfrac{\cos^25\beta + \sin^25\beta}{\cos^25\beta - \sin^25\beta} = \dfrac{1}{\cos10\beta}

По основному тригонометрическому тождеству:

\boxed{\boldsymbol{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha = 1}}

Тогда в числителе получается:

\dfrac{1}{\cos^25\beta-\sin^25\beta} = \dfrac{1}{\cos10\beta}

По формуле косинуса двойного угла:

\boxed{\boldsymbol{\cos^2\alpha -\sin^2\alpha = \cos2\alpha}}

Тогда имеем:

\dfrac{1}{\cos\left(2\cdot5\beta\right)} = \dfrac{1}{\cos10\beta}boldsymbol{\dfrac{1}{\cos10\beta} = \dfrac{1}{\cos10\beta}}

После преобразований левая и правая части оказались одинаковы, а значит, тождество доказано.

Популярно: Алгебра