Ответы на вопрос:
Посмотрим, какое количество камней могло остаться в конце игры: такое, что половина этого количества ≤ 1 (иначе можно взять 1 камень и это будет не конец игры). то есть могло остаться 0, 1 или 2 если осталось 0 (или 1), то на предыдущем ходе количество камней было меньше, чем 0 * 2 = 0 (или 1 * 2 = 2), то есть < 0 камней (1 камень), чего быть не могло. значит осталось 2 камня. теперь мы знаем, что тот, кому после очередного хода выпала кучка с 2 камнями, проигрывает. значит тот, кому выпала кучка с более, чем 2 камнями, но менее, чем с 2 * 2 - выигрывает (это кучка из 3 камней. он берет 1 камень и выигрывает). проводя аналогичные рассуждения мы увидим, что тот, кому выпадает кучка с 4 камнями - проигрывает (единственный возможный ход - взять 1 камень, что приводит к 3 камням, а тот, кто начинает с кучки из 3 камней выигрывает). можно бы было дальше посмотреть, что тот, у кого в кучке 8 камней проиграет, а тот, у кого в кучке 5 .. 7 камней - выиграет. но мы остаток докажем методом индукции. пытаемся доказать предположение, что тот, кому попалась кучка из (n строго больше 1) элементов проиграет, а тот, кому попалась кучка с числом камней, не равным степени 2 - выигрывает. база индукции у нас уже есть. предположим, что тот, у кого выпало камней - проигрывает, а - выигрывает. докажем, что тот, кому выпало камней выиграет, а тот, кому выпало камней - проиграет. 1) пусть выпало камней, . тогда мы можем взять эти l камней. дейтсвительно, из того, что следует, что итак, оппонент после этого хода попадает на кучку из камней и, по предположению индукции, проигрывает 2) пусть выпало камней. тогда можно взять любое количество от 1 до (так как ровно в 2 раза меньньше, чем , а по условию можно взять строго меньше, чем в 2 раза). тогда мы получим кучку с количеством камней от до начиная с которой по пункту 1) этого доказательства оппонент выигрывает. что и требовалось доказать. таким образом, так как 2017 - это не степень двойки, то начиная с 2017 петя победит. его стратегия - забирать камни так, чтобы в кучке оставалось число камней, являющееся точной степенью 2.
Популярно: Математика
-
Yoyoy3123123417.02.2021 01:19
-
JackMix04.07.2020 14:24
-
Евус111118.12.2021 06:50
-
Sozedatel22.01.2023 17:09
-
YummyGirl02.07.2020 00:26
-
Yto4kaya27.11.2022 15:40
-
valentingordien12.05.2020 15:44
-
спирина103.04.2021 02:23
-
petrenkof111.01.2023 04:44
-
died26711.07.2021 03:56