на доске 100 на 100 стоит 200 фишек. Докажите что найдутся две фишки одна из которых строго правее и строго выше другой
Ответы на вопрос:
Допустим таких конфигураций не существует.
Тогда не существует и аналогичных конфигураций "строго левее и строго выше" и так далее, потому что если бы они были, мы бы могли их поворотами доски или отражениями привести к конфигурации "строго правее и строго выше"
Значит координаты любых двух фишек на нашей доске не могут быть обе различными. Значит фишки максимум занимают одну вертикаль и одну горизонталь, но так можно разложить лишь 199 фишек. А у нас 200. Значит, мы получаем противоречие исходному предположению.
Переформулируем. Пусть дано 200 пар чисел: , причем каждое из чисел взято в отрезке . Требуется доказать, что найдутся две пары чисел и , такие что и (по сути, — координаты фишки на доске).
Доказательство:
Предположим обратное. Расставим пары по убыванию первого числа (то есть числа ). Внутри групп с одинаковым первым числом проведем обратную операцию: расставим числа по возрастанию второго числа (). Например, если размеры доски , а расставлено 7 фишек, то подошла бы следующая расстановка:
Понятно, что такая расстановка возможна. Действительно, если это не так, то найдется число , причем число стоит выше числа . Это противоречит предположению.
Пусть — число переходов числа на более низкое (в вышеприведенном примере таких переходов 3: с 4 на 3, с 3 на 2, с 2 на 1). Заметим, что числа могут повторяться не более одного раза. Внутри групп они строго возрастают. Поэтому последнее число не меньше . При этом, очевидно, . С другой стороны, переходов не больше чем (спуск от 100 до 1). Противоречие, которое завершает доказательство.
Популярно: Математика
-
dsdg1g06.03.2020 04:40
-
Олисочка21.08.2022 06:05
-
Psix00707.10.2022 20:17
-
kirillshe201209.01.2020 06:41
-
ИЗЫДИ66618.09.2020 13:22
-
katyanosa26.03.2022 13:39
-
светилек17.02.2023 05:47
-
NiceLeave08.08.2022 04:05
-
Dumbass100706.11.2021 09:08
-
сэрго200211.05.2022 22:21