Регистрация
sibuna1
17.09.2022 09:16
Алгебра
Есть ответ 👍

Найдите минимальное значение функции y = {x}^{x}
и координаты самой низкой точки. Заранее

225
230
Посмотреть ответы 3

Ответы на вопрос:

Smazi
Smazi
4,6(60 оценок)

y_{min} = \frac{1}{e} ^\frac{1}{e}

Объяснение:

Здравствуйте!

Преобразуем функцию:

y=x^x = e^{xln(x) }

Найдем наименьшее значение функции:

f(x) =xln(x)

f'(x) = ln(x) +x/x = ln(x)+1 , x\neq 0

ln(x) +1 = 0\\ln(x) = -1\\x=\frac{1}{e}\\\frac{1}{e^2}

То есть \frac{1}{e } - точка минимума.

Поскольку e1 , то y_{min} = \frac{1}{e} ^\frac{1}{e}

Если вам понравился ответ, сделай его лучшим.

janibek01
janibek01
4,4(81 оценок)

По Лопиталю если f'(x) = g'(x), то (\ln(f(x)))' = (\ln(g(x)))'.

Применяем:

y = x^x

\ln(y) = x \cdot \ln(x)

(\ln(y))' = (x \cdot \ln(x))'

\frac{y'(x)}{y(x)} = x' * \ln(x) + x * (\ln(x))'

\frac{y'(x)}{y(x)} = \ln(x) + \frac{x}{x}

\frac{y'(x)}{y(x)} = \ln(x) + 1

y'(x)= y(x) \cdot (\ln(x) + 1)

y'(x)= x^x \cdot (\ln(x) + 1)

Найдем экстремумы:

y'(x)= x^x \cdot (\ln(x) + 1) = 0

Произведение равняется 0, если один из операндов равен 0.

x^x \neq 0, так как 0^0 - неопределённость.

\ln(x) + 1 = 0\\\ln(x) = -1\\x = \frac{1}{e}

y = x^x = (\frac{1}{e})^\frac{1}{e}

kristyaaanikol
kristyaaanikol
4,7(43 оценок)
Ответ в )6

Популярно: Алгебра