Медианы равнобедренного треугольника, проведённые к основанию и боковой стороне, равны соответственно m и n. Найти стороны треугольника.
200
429
Ответы на вопрос:
Пусть в прямоугольный треугольник abc вписан квадрат cdef (см. рисунок). здесь ac=a, bc=b. заметим, что диагональ ce квадрата является также биссектрисой исходного треугольника. пусть ce=d, тогда cd=d√2/2 - сторона квадрата меньше диагонали в √2 раз. периметр квадрата равен (d√2/2)*4=2√2d, а площадь равна (d√2/2)²=d²/2. таким образом, чтобы найти периметр и площадь квадрата, достаточно выразить биссектрису прямого угла d через a и b. площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов, в нашем случае s=ab/2. теперь воспользуемся другой формулой площади - s=1/2*a*b*sin(c), где a,b - соседние стороны треугольника, а sin(c) - угол между ними. тогда s(ace)=1/2*ac*ce*sin(45), s(bce)=1/2*ce*bc*sin(45) (углы ace и bce равны 45 градусам). так как s(ace)+s(bce)=s(abc), мы можем записать уравнение с одним неизвестным ce: 1/2*ac*ce*sin(45)+1/2*ce*bc*sin(45)=ab/2 ac*ce*sin(45)+ce*bc*sin(45)=ab ce(ac+bc)=ab/sin(45) ce=ab/(a+b)sin(45) таким образом, d=ab/(a+b)sin(45). получаем, что периметр квадрата равен 2√2d=2√2ab/(a+b)sin(45)=4ab/(a+b), а площадь равна d²/2=(ab/(a+b)sin(45))²*1/2=a²b²/(a+b)².
Популярно: Геометрия
-
jaz509.09.2022 07:26
-
nastyakholod9221.05.2021 01:12
-
khekkp02n6r14.11.2022 08:14
-
жанель6704.01.2022 10:54
-
Иванджелина21.05.2022 02:58
-
Daniela08072208.01.2020 15:17
-
blablabla11408.12.2021 00:45
-
t2242211.02.2020 08:59
-
Shatunova197611.01.2021 07:51
-
kacamber22819.04.2023 05:06