Регистрация
kiraganziy
25.01.2021 07:16
Геометрия
Есть ответ 👍

Дана правильная треугольная пирамида со стороной основания 12. Боковое ребро пирамиды наклонено к плоскости основания под углом 30°. Найдите объем описанного около пирамиды конуса.

199
218
Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

NadushaLove12
NadushaLove12
4,4(63 оценок)
ответ:

64\pi см³.

Объяснение:

Обозначим данную пирамиду буквами SABC.

AB = 12 см.

Проведём высоту пирамиды SO.

\angle SAO = 30^{\circ}

Начертим около этой пирамиды конус.

Так как конус описан около данной пирамиды, то высота конуса совпадает с высотой данной пирамиды.

=======================================================

Так как данная пирамида - правильная, треугольная ⇒ основание данной пирамиды - правильный треугольник.

\Rightarrow AB = BC = AC = 12 см.

Проведём высоту AH в \triangle ABC

\triangle SAO - прямоугольный, так как SO - высота пирамиды.

\triangle ABH - прямоугольный, так как AH - высота \triangle ABC.

Так как \triangle ABC - равносторонний ⇒ AH - высота, медиана и биссектриса

BH = HC = BC:2 = 12:2 = 6 см, так как AH - медиана.

Найдём AH по теореме Пифагора (a^2 = c^2 - b^2).

AH = \sqrt{AB^2 - BH^2} = \sqrt{12^2 - 6^2} = \sqrt{108} = 6\sqrt{3} см.

Точка O - пересечение медиан и делит их в отношении 2:1, считая от вершины.

\Rightarrow AO = 2/3\cdot AH = 2/3 \cdot 6\sqrt{3} = 4\sqrt{3} см

OH = 1/3\cdot AH = 1/3 \cdot 6\sqrt{3} = 2\sqrt{3} см.

Также AO - радиус описанной около \triangle ABC окружности.

Рассмотрим \triangle SAO

Если угол в прямоугольном треугольнике равен 30^{\circ}, то напротив лежащий катет равен половине гипотенузы.

\Rightarrow SA = 2SO

Составим уравнение:

Пусть x - SO, тогда 2x - SA.

И по теореме Пифагора (c^2 = a^2 + b^2).

(4\sqrt{3})^2 + x^2 = (2x)^2\\\\48 + x^2 = 4x^2\\\\-3x^2 =-48\\\\x^2 =16 \\\\x= 4

V конуса = 1/3 \cdot \pi \cdot AO^2 \cdot SO = \pi \Big(1/3 \cdot (4\sqrt{3})^2 \cdot 4\Big) = 64\pi см³.


Дана правильная треугольная пирамида со стороной основания 12. Боковое ребро пирамиды наклонено к пл
tanyaG0612
tanyaG0612
4,5(88 оценок)

4-128

5-360

6-112

Вот заранее

Популярно: Геометрия