в треугольнике АВС проведена высота ВD медиана ВМ и биссектриса ВК.докажите что точка К принадлежит отрезку DM.
Ответы на вопрос:
Небольшая поправка. Если треугольник равнобедренный с основанием АС, то в нем все три основания высоты, биссектрисы и медианы сливаются в одну точку.
В Δ ABC точки D, К и M - основания соответственно высоты, биссектрисы и медианы, проведенных из вершины B. Опишем около
Δ ABC окружность. Пусть Е - точка пересечения прямой BК с этой окружностью. Тогда Е будет серединой дуги AC. Поэтому прямая, проведенная через точку Е параллельно BD, перпендикулярна хорде AC и проходит через ее середину, т. е. точку M. А т.к. точки B и Е лежат по разные стороны от прямой AC, то точка К лежит между проекциями концов отрезка ЕB, т. е. между точками D и M, значит , она принадлежит отрезку DM, ч.т.д.
ответ: Постарался доказать как можно более строго.
Пошаговое объяснение:
Рассмотрим неравнобедренный Δ ABC
Опишем около Δ ABC окружность .
Проведем к стороне AC отрезок OM и продлим его до диаметра окружности FS.
Δ AOC - равнобедренный, поскольку OA = OС как радиусы окружности. Таким образом, его медиана OM (M делит AC пополам) является и его высотой, но тогда и медиана FM треугольника AFC является его высотой, а значит он так же равнобедренный. Но тогда, эта высота является и биссектрисой, то есть ∠AFS =∠SFC, причем эти углы вписаны в окружность, а значит опираются на равные дуги. Иначе говоря, дуга AS равна дуге SC, но тогда и вписанные углы ∠ABS = ∠SBC .
Таким образом, BS биссектриса ∠B треугольника ABC , пусть она пересекает сторону AC в точке K.
BD ║ FS как два перпендикуляра к одной прямой AC, то есть SDBF - трапеция, а ЛЮБАЯ трапеция является выпуклым четырехугольником, причем BS ее диагональ. Теперь придется сослаться на одну аксиому, а именно, что все точки диагонали выпуклого четырехугольника лежат внутри четырехугольника, но тогда и точка K лежит внутри трапеции (K∈SDBF).
Геометрическое место точек, принадлежащих и трапеции и отрезку AC - это отрезок DM.
Таким образом, раз точка K∈AC и K∈ SDBF , то K∈DM
Что и требовалось доказать.
Популярно: Математика
-
smoke22832223.04.2020 07:40
-
чек715.03.2020 13:19
-
kryganavika200608.05.2022 14:19
-
tiomashash06.12.2020 12:44
-
0000000000000000002021.06.2022 16:13
-
DaNKoLaB18.12.2022 04:52
-
acononencko20126.02.2021 23:44
-
7987329948920.03.2023 12:27
-
897728806.03.2023 07:54
-
Ksu2k1720.07.2022 22:01