Математика: решить задание с параметром.

kirill885

18.09.2020 09:13

Математика

Есть ответ 👍

решить задание с параметром.

251

415

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

Salahaddin001

Математика

4,7(67 оценок)

Рассмотрим функцию $f(x)=2\cos^2x+4\sin x\cos x-4\sin^2x+a$ , ее можно переписать следующим образом: $f(x)=2(\cos^2x-\sin^2x)+2(2\sin x\cos x)-2\sin^2 x+a=3\cos2x+2\sin2x+a-1$ . Переформулируем задачу: найти все значения параметра , при каждом из которых максимальное значение функции f(x) не превосходит 5, а минимальное не меньше -5.

Заметим, что $3\cos2x+2\sin2x=\sqrt{13}\sin(2x+\arcsin\frac{3}{\sqrt{13}}) \leq \sqrt{13}$ . Теперь максимальное и минимальное значения легко определить: $f(x)\leq \sqrt{13}+a-1$ , аналогично минимальное: $f(x)\geq -\sqrt{13}+a-1$ . Значит, $\sqrt{13}+a-1\leq 5 \Leftrightarrow a\leq 6-\sqrt{13}$ и $-\sqrt{13}+a-1\geq -5 \Leftrightarrow a\geq \sqrt{13}-4$ , окончательно: $a\in[\sqrt{13}-4,\; 6-\sqrt{13}]$