На каждую чашку весов положили k гирь, занумерованных числами от 1 до k, причём левая чашка перевесила. Оказалось, что если поменять местами любые две гири с одинаковыми номерами, то всегда либо правая чашка начинает перевешивать, либо чашки приходят в равновесие. При каких k это возможно?

176

195

Посмотреть ответы 3

Ответы на вопрос:

mankoyana

Математика

4,6(63 оценок)

ответ: k=1, k=2

Пошаговое объяснение:в приложении

На каждую чашку весов положили k гирь, занумерованных числами от 1 до k, причём левая чашка перевеси

илона2707

Математика

4,5(86 оценок)

ответ: На каждой чаше не более чем две гири. (по одной или по две)

Пошаговое объяснение:

Поскольку, если поменять гири с одинаковыми номерами местами, правая чаша перевешивает или сравнивается с левой, то гиря на левой чаше с n номером всегда тяжелее гири правой гири с n-м номером. (n=1,2,3...k)

Пусть:

M1n - масса n-гири в левой чаше , M2n - масса n-гири справа.

Обозначим : Xn = M1n -M2n >0

Тогда масса груза на левой чаше , на :

X= X1 + X2 + X3 ...+Xk больше чем на правой чаше.

При обмене гирь с одним номером , из разности масс X вычитается

2*M1n и прибавляется 2*M2n

X' = X1 + X2 + X3 ...+Xk -2*M1n +2*M2n = X1 + X2 + X3 ...+Xk - 2*Xn = X1 + X2 +.....Xn-1 -Xn + Xn+1 +Xn+2....+Xk

Поскольку правая чаша перевешивает или уравнивает левую, то X'<0

(X1 + X2 +.....Xn-1 + Xn+1 +Xn+2....+Xk) -Xn <=0

То есть это значит, что любая из взятых разностей не меньше суммы всех остальных разностей, а значит не меньше и их частичных сумм. (cумм некоторых из оставшихся)

Пусть таких разностей более 2 , то есть существует как минимум 3 разности : X1, X2,X3 , тогда

X1+X2 <=X3

X1+X3 <=X2

Сложим попарно эти неравенства :

2*X1 +X2 +X3 <= X2+X3

2*X1<=0

X1<=0

Но Xn>0

Мы пришли к противоречию , значит более двух гирь с каждой стороны быть не может.

Приведем пример для k=1:

M11=5

M21=4