Сколько натуральных (с единицы) чисел n среди первых 5000 таковы, что (n - 1)! делится на n? Я знаю, что из 4330, но как это доказать математически

193

224

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

anton12535

Алгебра

4,7(98 оценок)

Объяснение:

Если n - простое число, то (n-1)! на делится на n, так как все его простые множители, очевидно, меньше n.

Если n можно представить в виде произведения двух различных чисел, то эти числа точно не больше чем n-1 и, следовательно, будут участвовать в произведении, и (n-1)! будет делиться на n.

Если же составное число n нельзя представить в виде произведения двух различных чисел, то n - квадрат простого числа p. Тогда в произведении (n-1)! будет p-1 чисел, кратных p, и, если p больше двух, (n-1)! будет делиться на p^(p-1), то есть и на p²=n.

Простых чисел до 5000 всего 669 (проверял программой, не знаю где найти это число), из составных исключением является n=2² => 3!=6 не делится на 4. Также 0!=1 делится на 1. Из 5000 чисел не подходят 670, значит остальные 4330 подходят.

marushakeduard

Алгебра

4,8(87 оценок)

Доска со сторонами 2016 на 2016 имеет 2016*2016=4 064 256 клеток. в ней поместится 3х3 квадратов 4 064 256/(3*3)=451 584=(2^10)*(3^2)*(7^2) и может поместится 2х4 прямоугольников 4 064 256/(2*4)=508 032= =(2^7)*(3^4)*(7^2). в каждом квадрате а золотых клеток значит всего в квадратах может быть а*(2^10)(3^2)*(7^2), при этом z золотых клеток в прямоугольнике z*(2^7)*(3^4)*(7^2). получаем уравнение а(2^10)(3^2)(7^2)=z(2^7)(3^4)(7^2) после сокращения получим 8a=9z отсюда а=9 z=8 при других значениях a и z c условием, что a< =9 и z< =8 равенство не получается. все клетки выходит закрашены)