Регистрация
star5647
02.06.2021 03:10
Математика
Есть ответ 👍

с примером
Найдите интеграл, используя интегрирование по частям:

294
410
Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

ATimofeeva
ATimofeeva
4,4(72 оценок)

\frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2} + \frac{a^2}{2}\arcsin{\frac{x}{a}}} + C

Пошаговое объяснение:

Для формулы интегрирования по частям возьмем

u = \sqrt{a^2-x^2} = du = -\frac{x}{\sqrt{a^2-x^2}}dx;

dv = dx = v = x;

Подставляя в формулу, получаем:

\int {\sqrt{a^2-x^2}} \, dx = x\sqrt{a^2-x^2} + \int \frac{x^2}{\sqrt{a^2-x^2}} \, dx;

Преобразуем интеграл в правой части:

\int \frac{x^2}{\sqrt{a^2-x^2}}\,dx = - \int \frac{a^2-x^2-a^2}{\sqrt{a^2-x^2}}\,dx = - \int \frac{a^2-x^2}{\sqrt{a^2-x^2}}\,dx + \int \frac{a^2}{\sqrt{a^2-x^2}}\,dx =

= - \int \sqrt{a^2-x^2}\,dx + a^2 \int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}\,dx;

Последний интеграл есть табличный: \int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}\,dx = \arcsin{\frac{x}{a}} + const

Обозначим искомый интеграл как I = \int \sqrt{a^2-x^2}\,dx, тогда получаем уравнение относительно I:

I = x\sqrt{a^2-x^2} - I + a^2 \arcsin{\frac{x}{a}} + const;

I = \frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2} + \frac{a^2}{2}\arcsin{\frac{x}{a}}} + C

tuzor
tuzor
4,5(75 оценок)

Пошаговое объяснение:

Пусть на второй полке - х книг, тогда на первой полке - 2х, а на третьей полке - 2х - 10.  Всего на трех полках 80 книг. Составим уравнение:

х + 2х + 2х - 10 = 80

5х - 10 = 80

5х= 80+10

5х = 90

х = 18  книг на второй полке

2х= 2*18  = 36 книг на первой полке

2х-10=2*18-10= 26  книг на третьей полке

Популярно: Математика