SABCD - правильная четырехугольная пирамида, все ребра которой
равны 3√2. Точка T -середина ребра SС, точка М лежит на
прямой BC так, что точка В — середина отрезка МС. Через точки A,
T, M проведена плоскость. Найдите сумму квадратов длин всех
сторон сечения пирамиды плоскостью ATM.
Ответы на вопрос:
В сечении - четырёхугольник АКТЕ, симметричный относительно диагонали АТ.
Применим теорему Менелая.
(СМ/ВМ)*(ВК/KS)*(ST/TC) = 1.
(6√2/3√2)*(BK/KS)*((3√2/2)/(3√2/2)) = 1.
Отсюда получаем отношение (BK/KS) = 1/2.
Тогда KS = (2/3)BS = (2/3)*(3√2) = 2√2.
Теперь в треугольнике STK имеем 2 стороны и знаем угол в 60 градусов. По теореме косинусов:
TK = √((3√2/2)² + (2√2)² - 2*(3√2/2)*(2√2)*cos 60) = √((9/2) + 8 - 6) = √(13/2).
Аналогично АК = √((√2)² + (3√2)² - 2*(√2)*(3√2)*cos 60) = √(2 + 18 - 6) = √14.
Отрезки ТЕ и ЕА равны √(13/2) и √14.
Сумма квадратов 2*(13/2) + 2*14 = 13 + 28 = 41.
1. т.к. bca - тупой => ∠bac и ∠abc- острые
2. т.к. ∠kbc меньше ∠abc ,а ∠bca = ∠bck, то ∠bac меньше ∠bkc => sin(bkc) > sin(bac)
3. по теореме синусов: bc/(sin(bkc)) = bk/sin(150) и bc/sin(bac) = ab/sin(150), =>
=> = sin(bkc)/sin(bac) => ab > bk
4. т.к. 6 > ab > bk = 4,5 и ab - целое, то ab = 5 .
ответ: ab = 5.
Популярно: Геометрия
-
НастяО1113.09.2020 17:16
-
Fluttershy2210200526.02.2021 01:42
-
theaziimut26.06.2023 23:59
-
pavlon4kp0bmeh24.08.2021 14:07
-
albina2406198008.06.2022 13:49
-
elzamarg29.01.2021 07:03
-
Violettik200608.06.2022 06:01
-
kattya10013.09.2020 20:05
-
milka29422.01.2020 12:08
-
Рената51525.11.2020 15:47