найти условный экстремум функции методом множителей Лагранжа
z=1/x+1 /y
Условие:x+y=2
Ответы на вопрос:
ответ: функция z имеет минимум, равный 2, в точке М(1;1).
Объяснение:
Пишем уравнение связи в виде g(x,y)=x+y-2=0 и составляем функцию Лагранжа L=z+a*g=1/x+1/y+a*(x+y-2), где a - множитель Лагранжа. Находим частные производные dL/dx и dL/dy: dL/dx=-1/x²+a, dL/dy=-1/y²*a и составляем систему из трёх уравнений:
-1/x²+a=0
-1/y²+a=0
a*(x+y-2)=0
Решая её, находим a=1, x=y=1. Таким образом, найдена единственная стационарная точка M(1;1). Теперь проверим, выполняется ли достаточное условие экстремума. Для этого находим вторые частные производные: d²L/dx²=2/x³; d²L/dxdy=0, d²L/dy²=2/y³ Вычисляем значение найденных производных в точке М: A=d²L/dx²(M)=2, B=d²L/dxdy(M)=0, C=d²L/dy²(M)=2 и составляем дифференциал 2-го порядка: d²L=A*(dx)²+2*B*dx*dy+C*(dy)²=2*dx²+2*dy²>0, поэтому функция z в точке М имеет минимум, равный zmin=1/1+1/1=2.
Популярно: Алгебра
-
lyubashabelyaeva01.12.2020 22:59
-
alinaby1318.05.2021 22:16
-
Сани5618.04.2022 17:26
-
Narmahanova25.01.2023 07:30
-
teylor313.01.2022 00:52
-
Роннилав26.06.2022 07:15
-
ЭммаУаилд25.09.2022 09:00
-
marda6911.08.2021 02:44
-
karinaletgo0710.07.2021 15:43
-
Виктури31.08.2022 01:22