Регистрация
vk2931416haker
26.09.2020 04:02
Алгебра
Есть ответ 👍

Определи наибольшее и наименьшее значения данной квадратичной функции.

266
326
Посмотреть ответы 1

Ответы на вопрос:

innalemesh1
innalemesh1
4,5(70 оценок)

\mathrm{tg}^32x+\mathrm{ctg}^32x+6\sin^{-1}2x=8\sin^{-3}4x

Избавимся для удобства от отрицательных показателей степеней:

\mathrm{tg}^32x+\mathrm{ctg}^32x+\dfrac{6}{\sin2x} =\dfrac{8}{\sin^34x}

Отметим ОДЗ. Оно сводится к двум условиям:

\boxed{\sin2x\neq 0;\ \cos2x\neq 0}

Представим тангенс и котангенс в виде отношений:

\dfrac{\sin^32x}{\cos^32x}+\dfrac{\cos^32x}{\sin^32x}+\dfrac{6}{\sin2x} =\dfrac{8}{(\sin4x)^3}

В левой части находим сумму двух дробей, а в правой части применяем формулу синуса двойного угла:

\dfrac{\sin^62x+\cos^62x}{\sin^32x\cos^32x}+\dfrac{6}{\sin2x} =\dfrac{8}{(2\sin2x\cos2x)^3}

В числителе первой дроби применяем формулу суммы кубов, знаменатель правой части возводим в куб:

\dfrac{(\sin^22x+\cos^22x)(\sin^42x+\cos^42x-\sin^2x\cos^22x)}{\sin^32x\cos^32x}+\dfrac{6}{\sin2x} =\dfrac{8}{8\sin^32x\cos^32x}

Числитель первой дроби упрощается благодаря тригонометрической единице, дробь в правой части сокращается:

\dfrac{\sin^42x+\cos^42x-\sin^2x\cos^22x}{\sin^32x\cos^32x}+\dfrac{6}{\sin2x}=\dfrac{1}{\sin^32x\cos^32x}

В числителе первой дроби выполняем искусственные преобразования для выделения полного квадрата:

\dfrac{\sin^42x+\cos^42x+2\sin^2x\cos^22x-3\sin^2x\cos^22x}{\sin^32x\cos^32x}+\dfrac{6}{\sin2x}=\dfrac{1}{\sin^32x\cos^32x}

И выделяем полный квадрат:

\dfrac{(\sin^22x+\cos^22x)^2-3\sin^2x\cos^22x}{\sin^32x\cos^32x}+\dfrac{6}{\sin2x}=\dfrac{1}{\sin^32x\cos^32x}

Вновь получена тригонометрическая единица:

\dfrac{1-3\sin^2x\cos^22x}{\sin^32x\cos^32x}+\dfrac{6}{\sin2x}=\dfrac{1}{\sin^32x\cos^32x}

Переносим все слагаемые в левую часть и выполняем упрощения:

\dfrac{1-3\sin^2x\cos^22x}{\sin^32x\cos^32x}+\dfrac{6}{\sin2x}-\dfrac{1}{\sin^32x\cos^32x}=0

\dfrac{1-3\sin^2x\cos^22x-1}{\sin^32x\cos^32x}+\dfrac{6}{\sin2x}=0

-\dfrac{3\sin^2x\cos^22x}{\sin^32x\cos^32x}+\dfrac{6}{\sin2x}=0

-\dfrac{3}{\sin2x\cos2x}+\dfrac{6}{\sin2x}=0

-\dfrac{3}{\cos2x}+6=0

\dfrac{3}{\cos2x}=6

\cos2x=\dfrac{1}{2}

2x=\pm\dfrac{\pi }{3}+2\pi n

Заметим, что ни синус ни косинус угла 2x не обращается в ноль. Следовательно, ОДЗ выполняется.

Записываем ответ:

\boxed{x=\pm\dfrac{\pi }{6}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}}

Популярно: Алгебра