На катетах AC и BC прямоугольного треугольника ABC построены квадраты. Докажите, что прямые BG, CE и перпендикуляр опущенный из вершины A на BC пересекаются в одной точке

117

380

Посмотреть ответы 1

Ответы на вопрос:

korolevaleksan

Геометрия

4,4(22 оценок)

Если диагонали трапеции авсд перпендикулярны друг другу и пересекаются в точке е, то треугольники аед и вес подобны друг другу и имеют острые углы в 45°. ае = ад*cos 45° = 9√2*(1/√2) = 9. ec = bc*cos 45° = 3√2*(1/√2) = 3. диагонали ас и вд равны друг другу по свойству вписанной трапеции. ас = вд = 9 + 3 = 12. они образуют 2 треугольника, вписанных в ту же окружность, что и трапеция. поэтому радиус окружности, описанной около трапеции находим по формуле радиуса окружности. описанной около треугольника. r = abc/(4s). боковую сторону находим по теореме косинусов: сд = √(ас²+ад²-2*ас*ад*cos45°) = √(162+144-216) = √90 = = 9.486833.площадь треугольника асд находим по формуле герона: s √(p(p-a)(p-b)(p-c). полупериметр р = (а+в+с)/2 = 17.107378.тогда s = 54. детали этого треугольника: a b c p 2p s 9.486833 12.727922 12 17.107378 34.21475504 54 x=р-а y=р-в z=р-с x*y*z p*x*y*z 7.620545 4.379456 5.107378 170.45278 2916 cos a = 0.707107 cos b = 0.316228 cos с = 0.447214 аrad = 0.785398 brad = 1.249046 сrad = 1.107149 аgr = 45 bgr = 71.565051 сgr = 63.434949.теперь находим радиус: r = (9.486833*12.727922*12)/(4*54) = 1448.972/216 = = 6.708203932.это же значение можно представить как r = √45 = 3√5. площадь треугольника асд можно найти проще: s = (1/2)*ад*ас*sin 45° = (1/2)*9√2*12*(1/√2) = 54. радиус окружности можно определить через корни: r = ((√90)*(9√2)*12)/4*54 = 108√180/216 = √45.