Ответы на вопрос:
решение :
в трапеции abcd с основаниями ad и bc биссектриса угла а пересекает
боковую сторону cd в точке е.
найти площадь треугольника аве если ad=2bc ad=ab а площадь трапеции
равна 18см^2
выполним следующие дополнительные построения:
1) проведем диагональ трапеции через точки b и d,
обозначим точку пересечения этой диагонали с биссектрисой
как m
2) продолжим биссектрису за точку e до пересечения
с продолжением основания вс вправо за точку c;
пусть точка пересечения n
обозначим длину bc за x, а высоту трапеции за h.
тогда площадь трапеции есть h * (x + 2x) / 2 = 18,
отсюда h * x = 12 (этот факт нам пригодится в дальнейшем)
очевидно, что bm = md (из равенства треугольников abm и adm
по двум сторонам и углу между ними) .
отсюда следует, что средняя линия треугольника abd
проходит через точку m и равна половине ad, то есть x.
эта же средняя линия есть и средняя линия трапеции.
обозначим пересечение средней линии трапеции со стороной ab точкой p,
а со стороной cd точкой q.
в свою очередь, средняя линия треугольника abd равна средней
линии треугольника abn, откуда следует, что bn равно 2x.
теперь обратимся к площадям треугольников. искомая площадь
треугольника abe равна площади треугольника abn за вычетом
площади треугольника bne.
очевидно, площадь треугольника abn равна (h * 2x) / 2 = h * x
обратим внимание на подобные треугольники cen и qem.
так как средняя линия pq трапеции равна (x + 2x) / 2 = 3/2 * x,
а средняя линия треугольника abd равна x, то длина mq = pq - pm = x / 2
очевидно, что длина cn = bn - bc = 2x - x = x, то есть коэффициент подобия
трегольников равен 2 (или, если угодно, 1/2).
отсюда следует, что высота треугольника cen в 2 раза больше высоты
треугольника qem (рассматриваются высоты, проведенные из точки e).
а кроме того, сумма этих двух высот составляет половину высоты трапеции h.
обозначая высоту треугольника qem за h, имеем очевидное уравнение:
h + 2h = h / 2, 3h = h / 2, h = h / 6, 2h = h / 3.
теперь у нас есть все, чтобы определиться с площадью треугольника bne.
его основание bn равно 2x, высота равна 2h = h / 3. следовательно,
его площадь равна (h / 3) * 2x / 2 = (h * x) / 3.
итак, площадь треугольника abe = h * x - (h * x) / 3 = 2/3 *(h * x).
вспоминаем наш факт, что h * x = 12 и получаем окончательный ответ
(если к этому моменту еще не заснули от объяснений) :
площадь треугольника abe равна 2/3 * 12 = 8
Популярно: Математика
-
tigr95111.09.2022 18:57
-
sashamaslak15.05.2020 17:48
-
arsenenkodiana613.08.2022 13:13
-
Некитсоловей14.04.2023 07:27
-
Liliya3456726.09.2022 11:49
-
123678202.07.2021 17:51
-
Легендабокса21.09.2020 12:37
-
скорпион6731.12.2020 14:00
-
gorodkatya10.08.2022 02:14
-
Мисаки1111125.08.2020 22:56