Математика: Докажите неравенство: (e^x - 1)*ln(1+x) x^2

Pussyellien

14.11.2022 03:19

Математика

Есть ответ 👍

Докажите неравенство: (e^x - 1)*ln(1+x)>x^2

204

500

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

аня2838

Математика

4,5(55 оценок)

Рассмотрим функцию .

Область определения функции: 0" class="latex-formula" id="TexFormula2" src="https://tex.z-dn.net/?f=x%2B1%3E0" title="x+1>0"> откуда .

Исследуем функцию на монотонность. Ищем производную функции

Строим график функции стоящую слева в уравнении - возрастающая (на области определения) и прямую . Графики пересекаются только в одной точке (0;0).

(-1)___-____(0)_____+____

При производная отрицательная, а при - положительная. Следовательно, функция на промежутке убывает, а на пром. - возрастает. Значит, в точке функция имеет максимум, который равный 0

Следовательно, функция всюду положительна на области определения и кроме точки , получаем

0~~\Rightarrow~~~ (e^x-1)\ln (1+x)-x^2>0~~\Rightarrow~~ (e^x-1)\ln(1+x)>x^2" class="latex-formula" id="TexFormula16" src="https://tex.z-dn.net/?f=f%28x%29%3E0~~%5CRightarrow~~~%20%28e%5Ex-1%29%5Cln%20%281%2Bx%29-x%5E2%3E0~~%5CRightarrow~~%20%28e%5Ex-1%29%5Cln%281%2Bx%29%3Ex%5E2" title="f(x)>0~~\Rightarrow~~~ (e^x-1)\ln (1+x)-x^2>0~~\Rightarrow~~ (e^x-1)\ln(1+x)>x^2">