Каждое боковое ребро пирамиды равно b и образует с плоскостью основания угол a. Найдите радиус шара, описанного около данной пирамиды.

238

369

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

илья213123

Математика

4,4(54 оценок)

Пошаговое объяснение:

Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна a.‍ Боковое ребро образует с плоскостью основания угол 60‍°.‍ Найдите радиус сферы, описанной около пирамиды.

Решение.

Пусть ABCP —‍ данная правильная треугольная пирамида с вершиной P,‍ AB = BC = AC = a,‍ M —‍ центр равностороннего треугольника ABC,‍ ∠PAM = ∠PBM = ∠PCM = 60‍°. Поскольку пирамида правильная, PM —‍ её высота. Из прямоугольного треугольника PAM‍ находим, что

Поскольку центр описанной сферы равноудалён от вершин основания ABC,‍ он лежит на прямой PM.‍ Рассмотрим сечение пирамиды ABCP‍ плоскостью, проходящей через точки A,‍ P‍ и середину L‍ ребра BC.‍ Получим треугольник APL,‍ вершины A‍ и P‍ которого расположены на окружности с центром, лежащим на высоте PM,‍ причём радиус R‍ этой окружности равен радиусу сферы, описанной около пирамиды ABCP,‍ и AM = 2ML.‍

Продолжим AL‍ до пересечения с окружностью в точке Q.‍ Поскольку ∠PAQ = 60‍° и PQ = AP,‍ треугольник APQ —‍ равносторонний, поэтому

Второй Пусть ABCP —‍ данная правильная треугольная пирамида с вершиной P,‍ AB = BC = AC = a,‍ M —‍ центр равностороннего треугольника ABC,‍ ∠PAM = = ∠PBM = ∠PCM = 60‍°.‍ Поскольку пирамида правильная, PM —‍ её высота.

Из прямоугольного треугольника AMP‍ находим, что

Поскольку центр описанной сферы равноудалён от вершин основания ABC,‍ он лежит на прямой PM.‍

Продолжим высоту PM‍ пирамиды до пересечения с описанной сферой в точке Q.‍ Рассмотрим сечение пирамиды ABCP‍ плоскостью, проходящей через точки A,‍ P‍ и Q.‍ Поскольку PQ —‍ диаметр окружности, радиус которой равен искомому радиусу R‍ сферы, треугольник APQ —‍ прямоугольный. Отрезок AM —‍ его высота, проведённая из вершины прямого угла. Значит, AM‍2 = PM · MQ = PM(PQ − PM),‍ или