Якщо в конус вписано правильну трикутну призму сторона основи якої корінь3 см а бічне ребро корінь37 см. Знайти обєм конуса.

Question

Геометрия: Якщо в конус вписано правильну трикутну призму сторона основи якої корінь3 см а бічне ребро корінь37 см. Знайти обєм конуса. ​

anative · Accepted Answer

пусть a и b - катеты, с - гипотенуза, r - радиус вписанной окружности.

всё, что надо понять - что расстояния от точки пересечения медиан до катетов равны a/3 (до катета b) и b/3 (до a) - и сразу получается соотношение.

(a/3 - r)^2 + (b/3 - r)^2 = r^2;

(a^2 + b^2)/9 - 2*r*(a + b)/3 + r^2 = 0;

подставим a + b = 2*r + c; a^2 + b^2 = c^2;

c^2/9 - 2*r*(2*r + c) + r^2 = 0;

r^2 + 2*r*c - c^2/3 = 0; обозначаем r/c = x;

x^2 + 2*x - 1/3 = 0; (x+1)^2 = 4/3; x = 2*корень(3)/3 -1;

поскольку a/c + b/c = 2*(r/c) + 1; то

sin(a) + cos(a) = 4*корень(3)/3 -1; возводим в квадрат обе стороны

1 + sin(2*a) = (4*корень(3)/3 -1)^2;

sin(2*a) = (2 - корень(3))*8/3;

a = (1/2)*arcsin((2 - корень(3))*8/3);

подробное исследование этой можно у меня найти тут

Ответы на вопрос: