Y=x^3-2x^2+x
исследуйте функцию и постройте её график
y=x^3-2x^2+x

272

343

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

zymzym55

Алгебра

4,6(88 оценок)

ответ:

объяснение:

1) область определения: х ∈ r. следовательно, точек разрыва и асимптот у графика нет.

2) исследуем функцию на четность. вместо х подставляем -х:

y(-x) = (-x)³ - 2(-x)² + (-x) = -x³ - 2x² - x = -(x³ + 2x² + x) ≠ f(x) ≠ -f(x).

так как ни одно из равенств f(-x) = f(x) и f(-x) = -f(x) не выполняется, функция является ни четной, ни нечетной.

3) найдем точки пересечения графика функции с осями координат:

с осью ох: у = 0; x³ - 2x² + x = 0; x(x² - 2x + 1) = 0; x(x - 1)² = 0 ⇒ x = 0 или x = 1 искомые точки: (0; 0), (1; 0).

с осью оу: х = 0; y(0) = 0³ - 2 · 0² + 0 = 0. искомая точка - (0; 0).

4) найдем точки экстремума и экстремумы функции. для этого сначала найдем производную:

y' = (x³ - 2x² + x)' = (x³)' - (2x²)' + x' = 3x² - 4x + 1.

ищем критические точки. таких, что в них производная не существует, у нас нет. значит, ищем точки, в которых производная равна 0. решаем уравнение y' = 0:

3x² - 4x + 1 = 0

d = b² - 4ac = (-4)² - 4 · 3 · 1 = 16 - 12 = 4

$x_1 =\frac{-b+\sqrt{d}}{2a}=\frac{4+2}{6} = 1\\x_2=\frac{-b-\sqrt{d}}{2a}=\frac{4-2}{6}=\frac{1}{3}$ .

критические точки - x = 1, x = 1/3. исследуем их.

при переходе через точку х = 1/3 производная меняет знак с плюса на минус, а при переходе через точку х = 1 - с минуса на плюс. следовательно х = 1/3 - точка локального максимума, а х = 1 - точка локального минимума.

ищем локальный минимум и локальный максимум функции. для этого вместо х в первоначальную функцию подставляем х = 1/3 и х = 1

$y(1/3)=(\frac{1}{3})^3-2\cdot(\frac{1}{3})^2+\frac{1}{3}=\frac{1}{27} -\frac{2}{9} +\frac{1}{3}=\frac{1-6+9}{27}=\frac{4}{27}$ - локальный минимум.