Регистрация
kingoflfmvd
10.10.2022 23:31
Алгебра
Есть ответ 👍

Найдите разложения многочленов f(x) и g(x) на неприводимые множители над полями q, r, c.
f(x) = 4(x + 5)(x + 6)(x + 10)(x + 12) − 3x
^2
;
g(x) = x^3 − x
^2 − 21x + 45.
это как решить?

241
258
Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

EvgenijKalashni
EvgenijKalashni
4,4(74 оценок)

ответ:

1) на множестве r и с:

f(x)=4(x+7.5)(x+8)(x+\frac{35-\sqrt{265}}{4})(x+\frac{35+\sqrt{265}}{4})

на множестве q:

f(x)=4(x+7.5)(x+8)(x^2+17.5x+60).

2) на множестве q, r и с:

g(x)=(x-3)²(x+5)

объяснение:

чтобы разложить многочлен axⁿ+bxⁿ⁻¹+cxⁿ⁻2+ на множители, нужно найти его нули и записать разложение в виде: a(x-x₁)(x-x₂)(x-x₃ где x₁, x₂, x₃, - корни (нули) многочлена.

1) \ 4(x + 5)(x + 6)(x + 10)(x + 12)-3x^2=0

перемножим почленно 1 скобку с 4-й, а 2-ю с 3-й:

4(x^2+12x+5x+60)(x^2+10x+6x+60)-3x^2=0 \\ \\ 4(x^2+17x+60)(x^2+16x+60)-3x^2=0 \ |: x^2, x \neq 0

разделим всё уравнение на x²

\frac{4(x^2+17x+60)(x^2+16x+60)}{x^2}-\frac{3x^2}{x^2}=0\\ \\ 4 \cdot \frac{x^2+17x+60}{x} \cdot \frac{x^2+16x+60}{x}-3=0\\ \\ 4(x+17+\frac{60}{x})(x+16+\frac{60}{x})-3=0

делаем замену:

x+\frac{60}{x}=t

тогда

4(t+17)(t+16)-3=0 \\ \\ 4(t^2+16t+17t+272)-3=0 \\ \\ 4(t^2+33t+272)-3=0 \\ \\ 4t^2+132t+1088-3=0 \\ \\ 4t^2+132t+1085=0 \\ \\ d=132^2-4*4*1085=64=8^2\\ \\ t_1=\frac{-132+8}{2*4}= -\frac{31}{2} \\ \\ t_2 =\frac{-132-8}{2*4}= -\frac{35}{2}

обратная замена:

a) \ x+\frac{60}{x}=-\frac{31}{2} \ |*2x \\ \\ 2x^2+120=-31x \\ \\ 2x^2+31x+120=0 \\ \\ d=31*31-4*2*120=1 \\ \\ x_1=\frac{-31+1}{2*2}= -\frac{15}{2}=-7.5 \\ \\ x_2=\frac{-31-1}{2*2}=-8

b)\ x+\frac{60}{x}=-\frac{35}{2} \ |*2x \\ \\ 2x^2+120=-35x \\ \\ 2x^2+35x+120=0 \\ \\ d=35^2-4*2*120=265 \\ \\ x_{3,4}=\frac{-35^+_-\sqrt{265}}{4}

разложение на множестве r и c будет следующим:

1) \ f(x)=4(x+7.5)(x+8)(x+\frac{35-\sqrt{265}}{4})(x+\frac{35+\sqrt{265}}{4})

2) корни x₃ и x₄ не являются рациональными (нельзя представить в виде обыкновенной дроби), тогда

(x+\frac{35-\sqrt{265}}{4})(x+\frac{35+\sqrt{265}}{4})=0.5(2x^2+35x+120)=x^2+17.5x+60

и разложение на множестве q будет выглядеть:

f(x)=4(x+7.5)(x+8)(x^2+17.5x+60).

2) теперь разбираемся со вторым многочленом:

g(x)=x^3-x^2-21x+45

находим рациональный корень по схеме горнера.

путем перебора делителей свободного члена (числа 45) получаем x₁=-5 (см. рисунок)

x^2-6x+9=0 \\ \\ (x-3)^2=0 \\ \\ x_{2,3}=3

таким образом разложение на q, r и c будет:

g(x)=(x-3)²(x+5)

pashaShum12345
pashaShum12345
4,4(2 оценок)
95 балов клас но на самом деле 50 но ето тоже класно подптсивайтесь на меня а я на вас

Популярно: Алгебра