Алгебра: Существуют ли числа a и b, такие, что a*cos(x)-b*cos(2x) 1? x-любое.

KristinaSchool

13.05.2021 18:35

Алгебра

Есть ответ 👍

Существуют ли числа a и b, такие, что acos(x)-bcos(2x)> 1? x-любое.

138

242

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

Janiya1404

Алгебра

4,5(27 оценок)

$acosx-bcos2x> -b(2cos^2x-1)-1> {t: =cosx \leftrightarrow t \in [-1; 1]}\\at-b(2t^2-1)-1> -at-b+1< 0.$

переформулируем :

существуют ли числа a и b, такие, что 2bt² - at - b + 1 < 0 при любом t ∈ [-1; 1]?

$\boxed{f(x): =2bt^2-at-b+1}$

0 ∈ [-1; 1] ⇒ f(0) = 2b·0² - a·0 - b + 1 = 1 - b < 0 ⇔ b > 1.

тогда при b > 1, график y = f(x) - парабола с ветвями вверх. значит, решение неравенства f(x) < 0 имеет вид: (x₁; x₂), где x₁, x₂ - корни f(x).

по условию должно выполняться: [-1; 1] ⊂ (x₁; x₂). то есть меньший корень должен быть меньше -1, а больший - больше 1. для этого необходимо и достаточно, чтобы

[tex]\left \{ {{f(-1)< 0,} \atop {f(1)< 0; }} \right. \leftrightarrow\left \{ {{2b+a-b+1< 0,} \atop {2b-a-b+1< 0; }} \right. \leftrightarrow\left \{ {{b+1< -a,} \atop {b+1

но, как выяснилось ранее, b > 1 - противоречие.

ответ: нет.