Математика: Найти предел последовательности, с решением

Аллюрорка

01.11.2020 05:51

Математика

Есть ответ 👍

Найти предел последовательности, с решением

254

415

Посмотреть ответы 3

Ответы на вопрос:

virki2018

Математика

4,6(26 оценок)

ответ 1. решение приложено

Аnuk

Математика

4,5(82 оценок)

ответ:

$\frac{1}{n\cdot (n+1)}=\frac{1+n-n}{n\cdot (n+1)}=\frac{n+1}{n\cdot (n+1)}-\frac{n}{n\cdot (n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} {\; \frac{1}{n\cdot (n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\; }{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}++\frac{1}{(n-2)(n-1)}+\frac{1}{(n-1)\cdot n}+\frac{1}{n\cdot (n+1)}==1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}++\frac{1}{n-2}-\frac{1}{n-1}+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}==1-\frac{1}{n+1}$

$\lim\limits _{n \to \infty}\big (\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}++\frac{1}{n\, (n+1)}\big )=\lim\limits _{n \to \infty}\big (1-\frac{1}{n+1}\big )=1-0= [\; pri\; \; n\to \infty \, : \; (n+1)\to \infty \; ,\; \; \frac{1}{n+1}\to 0\; \big ]$