Алгебра: Решите в простых числах: [tex] {x}^{y} + 1 = z[/tex] подробное решение, .

mariyaIvanowwwna

04.09.2021 02:51

Алгебра

Есть ответ 👍

Решите в простых числах:
${x}^{y} + 1 = z$
подробное решение, .

263

284

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

vipzedd

Алгебра

4,4(63 оценок)

$x^y=z-1$

любое простое число, кроме 2, является нечётным.

если z = 2, то либо x = 1, либо y = 0. оба из этих чисел не являются простыми. значит, z ≠ 2.

если z — число нечётное, то $x^y$ — чётное. учитывая, что x и y — простые числа, x может быть равен только 2, иначе это будет нечётным числом.

$2^y+1=z$

попробуем поперебирать значения y:

2² + 1 = 5 — подходит,

2³ + 1 = 9 — не подходит,

2⁵ + 1 = 33 — не подходит,

2⁷ + 1 = 129 — не

можно заметить, что при нечётных y z делится на 3. всегда ли выполняется это условие?

множество нечётных чисел включает в себя множество простых чисел (за исключением 2). если $(2^{2k+1}+1)\mathrel{\vdots} 3$ , то и для простых чисел, кроме 2, это тоже справедливо.

докажем это методом индукции:

1. при k = 1 утверждение верно (см. перебор, второе равенство).

2. пусть $2^{2k+1}\equiv 2\pmod{3}$ — верно.

3. $2^{2(k+1)+1}=2^{2k+3}=4*2^{2k+1}$

$4*2^{2k+1}\equiv 4*2=8\equiv 2\pmod{3}$

значит, 2 в любой нечётной степени (даже 2¹, которое мы упустили из доказательства) при делении на 3 даёт остаток 2. отсюда справедливо выражение $(2^{2k+1}+1)\mathrel{\vdots} 3$ . значит, z при всех простых y, отличных от 2, делится на 3, то есть не является простым числом. отсюда получаем единственное найденное решение: x = 2, y = 2, z = 5.

ответ: (2; 2; 5)