Математика: Исследуйте ряд на сходимость (если что n+1 в скобках)

AYSEL2009

02.01.2020 13:42

Математика

Есть ответ 👍

Исследуйте ряд на сходимость (если что "n+1" в скобках)

266

482

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

yliuagulian

Математика

4,4(72 оценок)

ответ:

область сходимости $x \in (-8; 8)$

пошаговое объяснение:

$\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{nx^n}{8^n(n+1)}$ - функциональный степенной ряд

пусть $\bigg|u_n(x)\bigg|=\frac{n\big|x^n\big|}{8^n(n+1)}$ , пусть $\bigg|u_{n+1}(x)\bigg|=\frac{(n+1)\big|x^{n+1}\big|}{8^{n+1}(n+2)}$

найдём предел: $\lim\limits_{n \to \infty}\bigg|\frac{u_{n+1}}{u_{n}}\bigg|= \lim\limits_{n \to \infty}\bigg(\frac{(n+1)\big|x\big|^{n+1}}{8^{n+1}(n+2)}} \times \frac{8^n(n+1)}{n\big|x\big|^n}\bigg)$

$= \frac{\big|x\big|}{8}$

$\big|x\big|< 8\\-8</p><p>пусть [tex]x=8$

$\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{n8^n}{8^n(n+1)}$ - знакоположительный ряд

$\sum\limits_{n=0}^\infty\bigg(1-\frac{1}{(n+1)}\bigg)$ - ряд расходится по достаточному признаку расходимости, т.к. предел равен 1

пусть $x=-8$

$\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{n(-1)^n8^n}{8^n(n+1)}$ - знакочередующийся ряд.ряд расходится по достаточному признаку расходимости, т.к. предел равен 1