Регистрация
zalyaeva85
10.08.2020 11:13
Алгебра
Есть ответ 👍

Найти все пары простых чисел x и y , удовлетворяющих уравнению: x^2 - 2y^2 = 1

263
444
Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

Bksd
Bksd
4,5(29 оценок)

ответ:

(3; 2)

объяснение:

докажем   сначала, что если x и y - натуральные числа и удовлетворяют этому уравнению (кстати, это частный случай диофантова уравнения, которое называют уравнением ферма или уравнением пелля), то либо x либо y делятся на 3 (точнее, ровно одно из них делится на 3, но для нашего решения это не важно). в самом деле, если x и y не делятся на 3, то

x=3n\pm 1; y=3m\pm 1\rightarrow x^2=3(3n^2\pm 2n)+1; y^2=3(3m^2\pm 2m)+1\rightarrow

x^2-2y^2=3a-1, то есть не может равняться 1. (число a получилось после вынесения общего множителя 3).

итак, x или y делится на 3. но по условию x и y - простые, поэтому x или y

равен 3.

1-й случай. x=3\rightarrow 3^2-2y^2=1; 2y^2=8; y^2=4; y=2.

поскольку 2 - простое число, получили решение (3; 2).

2-й случай. y=3\rightarrow x^2-2\cdot 3^2=1; x^2=19.

такое уравнение не имеет решений в целых числах.

эги1
эги1
4,4(21 оценок)
Скажем:

Популярно: Алгебра