Необходимо решить интеграл: tg(x)/(1-ctg^2(x))

252

290

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

Swerri

Математика

4,8(89 оценок)

$\int \frac{tgx\, dx}{1-ctg^2x}=[\; t=tgx\; ,\; x=arctgt\; ,\; dx=\frac{dt}{1+t^2}\; ]=\int \frac{t\, dt}{(1-\frac{1}{t^2})(1+t^2)}==\int \frac{t^3\, dt}{(t^2-1)(1+t^2)}={t^3}{(t-1)(t+1)(t^2+1)}=\frac{a}{t-1}+\frac{b}{t+1}+\frac{ct+d}{t^2+1}=a(t+1)(t^2+1)+b(t-1)(t^2+1)+(ct+d)(t-1)(t+=1: \; \; a=\frac{t^3}{(t+1)(t^2+1)}=\frac{1}{2\cdot 2}=\frac{1}{4}=-1: \; \; b=\frac{t^3}{(t-1)(t^2+1)}=-\frac{1}{4}; |\; a+b+c=1\; ,\; \; c=1-a-b=1-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=1$

$t^2\; |\; a-b+d=0\; ,\; \; d=-a+b=-\frac{1}{4}-\frac{1}{4}=-\frac{1}{2}=\frac{1}{4}\int \frac{dt}{t-1}-\frac{1}{4}\int \frac{dt}{t+1}+\int \frac{t-\frac{1}{2}}{t^2+1}\, dt=\frac{1}{4}\cdot ln|t-1|-\frac{1}{4}\cdot ln|t+1|++\frac{1}{2}\int \frac{2t\, dt}{t^2+1}-\frac{1}{2}\int \frac{dt}{t^2+1}=\frac{1}{4}\cdot ln\big |\frac{t-1}{t+1}\big |+\frac{1}{2}\cdot ln|t^2+1|-\frac{1}{2}\cdot arctgt+c==\frac{1}{4}\cdot ln\big |\frac{tgx-1}{tgx+1}\big |+\frac{1}{2}\cdot \big (ln|tg^2x+1|-artg\, (tgx)\big)+c=$