Математика: Дифференциальное уравнение 2xy*y =x^2+y^2

wrrrr

15.08.2020 20:00

Математика

Есть ответ 👍

Дифференциальное уравнение 2xy*y'=x^2+y^2

218

362

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

myra5

Математика

4,7(14 оценок)

$2xyy'=x^2+y^2\\y'=\frac{x^2+y^2}{2xy}\\y'=\frac{t^2x^2+t^2y^2}{2txty}=\frac{t^2(x^2+y^2)}{t^22xy}=\frac{x^2+y^2}{2xy}\\f(x; y)=f(tx; ty)=> y=ux,\: y'=u'x+u\\u'x+u=\frac{x^2+u^2x^2}{2ux^2}\\u'x=\frac{1+u^2}{2u}-u=\frac{1-u^2}{2u}{du}{dx}=\frac{1-u^2}{2ux}{2u}{1-u^2}du=\frac{dx}{x}{\frac{2udu}{1-u^2} }=\int{\frac{dx}{x}}\\-\ln(1-u^2)=\ln(x)+\ln({1}{1-u^2}=x+c\\u^2=-\frac{1}{x+c}=-\frac{1-x-c}{x+c}=\frac{x+c}{x}\\u=\pm\sqrt{\frac{x+c}{x}}{y}{x}=\pm\sqrt{\frac{x+c}{x}}$