Объясните тему линейная функция и её график и свойства​

графиком линейной функции y = kx + b является прямая.

рассмотрим первый пример -   линейную функцию y = 0,5x − 2 .  

здесь k = 0,5   и b = - 2  

для построения любой прямой необходимо знать две точки, найдем их:

y = 0,5x − 2 тогда:

если x = 0, то y = −2; точка пересечения с осью ординат

если x = 2, то y = −1;

если x = 4, то y = 0   точка пересечения с осью абсцисс

точки пересечения с осями координат находят:

ox: ордината любой точки, принадлежащей оси ох равна нулю

y = kx + b = 0, x = -b/k, следовательно (-b/k; 0) – точка пересечения с осью абсцисс.

oy: абсцисса любой точки, принадлежащей оси оy равна нулю.  

y = 0k + b = b, следовательно (0; b) – точка пересечения с осью ординат.

чтобы построить график данной функции, нам нужны координаты двух точек, принадлежащих графику функции.

построим на координатной плоскости xoy точки (0; −2) и (4; 0) и проведём через них прямую.

рассмотрим второй   пример - линейную функцию y = −2x + 1

если x = 0, то y = 1;   точка пересечения с осью ординат

если x = -3, то y = 2;

если x = 7, то y = -3 и т.д.

построим на координатной плоскости xoy точки (−3; 7) и (2; −3) и

проведём через них прямую.

обратите особое внимание на функцию «y = 0,7x». часто совершают ошибку при поиске в ней числового коэффициента «b». рассматривая функцию «y = 0,7x», неверно утверждать, что числового коэффициента «b» в функции нет.

числовый коэффициент «b» присутствет в функции типа «y = kx + b» всегда. в функции «y = 0,7x» числовый коэффициент «b» равен нулю.

если b = 0, то получим функцию y = kx, которая является прямой пропорциональностью.

в частном случае, если k = 0, получим постоянную функцию y = b, график которой есть прямая, параллельная оси ox, проходящая через точку с координатами (0; b).

в уравнении функции   y = kx + b коэффициент k отвечает за наклон графика функции:

если k> 0, то график наклонен вправо. причем, чем больше значение k, тем круче идет прямая.

если k< 0, то график наклонен влево

коэффициент b отвечает за сдвиг графика вдоль оси oy:

если b> 0, то график функции y = kx + b получается из графика функции y = kx сдвигом на b единиц вверх вдоль оси oy

если b< 0, то график функции y = kx + b получается из графика функции y = kx сдвигом на b единиц вниз вдоль оси oy

смысл коэффициента b – длина отрезка, который отсекает прямая по оси oy, считая от начала координат.

смысл коэффициента k – угол наклона прямой к положительному направлению оси ox, считается против часовой стрелки.

свойства линейной функции:

1) область определения линейной функции есть вся вещественная ось;

2) если k ≠ 0, то область значений линейной функции есть вся вещественная ось. если k = 0, то область значений линейной функции состоит из числа b;

3) четность и нечетность линейной функции зависят от значений коэффициентов k и b.

a) b ≠ 0, k = 0, следовательно, y = b – четная;

b) b = 0, k ≠ 0, следовательно y = kx – нечетная;

c) b ≠ 0, k ≠ 0, следовательно y = kx + b – функция общего вида;

d) b = 0, k = 0, следовательно y = 0 – как четная, так и нечетная функция.

4) свойством периодичности линейная функция не обладает;

5) точки пересечения с осями координат:

ox: y = kx + b = 0, x =   -b/k, следовательно (-b/k; 0) – точка пересечения с осью абсцисс.

oy: y = 0k + b = b, следовательно (0; b) – точка пересечения с осью ординат.

замечание.если b = 0 и k = 0, то функция y = 0 обращается в ноль при любом значении переменной х. если b ≠ 0 и k = 0, то функция y = b не обращается в ноль ни при каких значениях переменной х.

6) промежутки знакопостоянства зависят от коэффициента k.

a) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.

y = kx + b – положительна при x из (-b/k; +∞),

y = kx + b – отрицательна при x из (-∞; -b/k).

b) k < 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.

y = kx + b – положительна при x из (-∞; -b/k),

y = kx + b – отрицательна при x из (-b/k; +∞).

c) k = 0, b > 0; y = kx + b положительна на всей области определения,

k = 0, b < 0; y = kx + b отрицательна на всей области определения.

7) промежутки монотонности линейной функции зависят от коэффициента k.

k > 0, следовательно y = kx + b возрастает на всей области определения,

k < 0, следовательно y = kx + b убывает на всей области определения.

8) графиком линейной функции является прямая. для построения прямой достаточно знать две точки. положение прямой на координатной плоскости зависит от значений коэффициентов k и b

подведем итоги в виде таблицы: