Прошу. все , что есть. даны координаты точек . а( 1; -4; 1), в( 4; 4; 0), с( -1; 2; -4), м( -9; 7; 8).найти: 1) уравнение плоскости q, проходящей через точки а, в и с; 2) составить каноническое уравнение прямой, проходящей через точку м перпендикулярно плоскости q; 3) точки пересечения полученной прямой с плоскостью q и с координатными плоскостями хоу, хoz, уоz; 4) расстояние от точки м до плоскости q.
Ответы на вопрос:
даны координаты точек . а( 1; -4; 1), в( 4; 4; 0), с( -1; 2; -4), м( -9; 7; 8).
1) уравнение плоскости q, проходящей через точки а, в и с.
это уравнение находим из выражения:
(x-x1)*(у2-y1)*(z3-z1) – (x-x1)*(z2-z1)*(y3-y1) – (y-y1)*(x2-x1)*(z3-z1) + (y-y1)*(z2-z1)*(x3-x1) + (z-z1)*(x2-x1)*(y3-y1) – (z-z1)*(y2-y1)*(x3-x1) = 0.
где: (х1, х2, х3), (у1, у2, у3) и (z1, z2, z3) – координаты первой, второй и третьей точек соответственно.
подставив координаты точек, получаем:
-34x + 17y + 34z + 68 = 0. сократим на минус 17:
2x - 1y - 2z - 4 = 0.
2) составить каноническое уравнение прямой, проходящей через точку м перпендикулярно плоскости q.
общее уравнение плоскости имеет вид: ax+by+cz+d=0
где n(a=2,b=-1,c=-2)−это нормальный вектор плоскости авс.
уравнение прямой, проходящей через точку m(x0, y0, z0) и имеющий направляющий вектор q(l, m, n) имеет следующий вид:
(x−x0)/l = (y−y0)/m = (z−z0)/n. подставим данные и получаем ответ:
мм1 = (x+9)/2 = (y−7)/(-1) = (z−8)/(-2).
3) точки пересечения полученной прямой с плоскостью q и с координатными плоскостями хоу, хoz, уоz.
составим параметрическое уравнение прямой:
t = (x + 9)/2, t = (y − 7)/(−1), t = (z − 8)/(−2).
выразим переменные x, y, z через параметр t :
x = 2·t − 9 , y = −1·t + 7 , z = −2·t + 8.
подставим в уравнение плоскости авс:
2(2t-9) - 1(-1t+7) - 2(-2t+8) - 4 = 0.
4t - 18 + t - 7 + 4t - 16 - 4 = 0.
9t = 45. t = 45/9 = 5.
подставим значение t в параметрические уравнения мм1:
x = 2·5 − 9 = 1 , y = −1·5 + 7 = 2 , z = −2·5 + 8 = -2.
м1 = (1; 2; -2). это точка пересечения полученной прямой с плоскостью q.
точки пересечения полученной прямой с плоскостью q и с координатными плоскостями:
хоу (z = 0): 0 = −2·t + 8, t = 8/2 = 4.
x = 2·4 − 9 = -1 , y = −1·4 + 7 = 3 , z = 0.
м2 = (-1; 3; 0).
хoz (y = 0), 0 = −1·t + 7. t = 7.
x = 2·7 − 9 = 5 , y = −1·7 + 7 = 0 , z = −2·7 + 8 = -6.
м3 = (5; 0; -6).
уоz (x = 0), 0 = 2·t − 9, t = 9/2.
x = 0, y = −1·(9/2) + 7 = 5/2 , z = −2·(9/2) + 8 = -1.
м4 = (0; (5/2); -1).
4) расстояние от точки м до плоскости q.
для вычисления расстояния от точки m(mx; my; mz) до плоскости ax + by + cz + d = 0.
используем формулу: d = |a·mx + b·my + c·mz + d| √(a² + b² + c²)
подставим в формулу данные:
d = |2·(-9) + (-1)·7 + (-2)·8 + (-4)| /√(2² + (-1)² + (-2)²) = |-18 - 7 - 16 - 4| /√(4 + 1 + 4) = 45/ √9 = 15.
ответ: |мм1| = 15.
Популярно: Математика
-
dinaras4423.06.2020 21:54
-
MartynaEvgeneva02.02.2022 06:07
-
Egor19060616.05.2020 16:54
-
saphiro1220.03.2020 17:39
-
Anya258723.07.2021 04:12
-
ВоительЧерноснежка25.07.2021 15:28
-
tori20151205.01.2020 22:16
-
myopinionnn726.11.2021 06:09
-
выолета23.05.2023 06:54
-
evasyperandreev15.02.2021 11:34