Решить предел без использования правила лопиталя если можно, с пояснениями lim (tan(pi/(2*x))^tan(pi/x) x-> 2

168

227

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

deepytat

Алгебра

4,5(2 оценок)

$\lim\limits _{x \to 2}\, (tg\frac{\pi}{2x})^{tg\frac{\pi}{x}}=\lim\limits _{x \to 2}\big (1+(tg\frac{\pi}{2x}-1)\big )^{tg\frac{\pi}{x}}=\\\\\\=\lim\limits _{x \to 2}\big (1+(tg\frac{\pi}{2x}-1)\big )^{ \frac{1}{tg\frac{\pi}{2x}-1}\cdot (tg\frac{\pi}{2x}-1)\cdot tg\frac{\pi }{x}}=\\\\\\=\big [\; \lim\limits _{x \to 2}(tg\frac{\pi }{2x}-1)\cdot tg\frac{\pi}{x}=\lim\limits _{x \to 2}(tg\frac{\pi}{2x}-1)\cdot \frac{2tg\frac{\pi}{2x}}{1-tg^2\frac{\pi}{2x}}=$

$=\lim\limits _{x \to 2}(tg\frac{\pi}{2x}-1)\cdot \frac{2tg\frac{\pi}{2x}}{(1-tg^2\frac{\pi}{y2x})(1+tg\frac{\pi }{2x})}=\lim\limits _{x \to 2}\frac{2tg\frac{\pi}{2x}}{-(1+tg^2\frac{\pi}{2x})} =\frac{2\cdot 1}{-(1+1)}=-1\; \big ]=$

$=e^{-1}=\frac{1}{e}$

помидор2324

Алгебра

4,7(3 оценок)

Теорема безу + основная теорема -> многочлен n-ой степени представим в виде a(x-c1)**(x-cn), где c1..cn- его корни. наибольший общий делитель f и g тоже представим в таком виде, причем его корни являются одновременно корнями f и g корни f - корни p-ой степени из 1: cos(2пk/p) + i*sin(2пk/p), k = 0..p-1 корни g - корни q-ой степени из 1: cos(2пn/q) + i*sin(2пn/q), n = 0..q-1 корни нод - cos(2пy) + i*sin(2пy), где y представимо в виде k/p = n/q, т.е. np = qk, n - 0..q-1, k = 0..p-1 - таких ровно d = нод(p,q) пусть p = ad, q = bd, тогда ka/p = k/d = kb/q, k = 0..d-1 т.е. корни нод f и g - это корни d-ой степени из 1, и результат имеет вид x^d - 1 действительно, x^p - 1 = x^(ad) - 1 = (x^d - 1)(1 + x^d + + x^(d(a-1)) ) x^q - 1 = x^(bd) - 1 = (x^d - 1)(1 + x^d + + x^(d(b-1)) ) нод f и g = x^d - 1, где d = нод(p,q)