Сколько чисел от 1150 (включительно) до 2018 (включительно) представимы в виде разности двух различных степеней двойки?

173

398

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

oljkejik

Алгебра

4,8(53 оценок)

из условия следует двойное неравенство 1150≤2ᵃ-2ᵇ≤2018, где а, в - неотрицательные целые числа.

рассмотрим некоторые степени двойки: 2°=1, 2¹=2, 2²=4, 2³=8, 2⁴=16, 2⁵=32, 2⁶=64, 2⁷=128, 2⁸=256, 2⁹=512, 2¹°=1024, 2¹¹=2048, 2¹²=

из неравенства следует, что 1150< 2ᵃ. учитывая степени двойки получаем 2048≤2ᵃ. с другой стороны, если 2ᵃ> 2048, то минимальное значение разности 2ᵃ-2ᵇ равно(минимальная разность между различными степенями двойки в данном случае достигается при b=a-1) 4096-2048=2048, что не удовлетворяет условию . значит 2ᵃ=2048. тогда неравенство принимает вид 1150≤2048-2ᵇ≤2018 ↔-898≤-2ᵇ≤-30 ↔ 30≤2ᵇ≤898. учитывая выписанные степени двойки, получаем 32≤2ᵇ≤512, то есть 5≤b≤9.

тогда получаем 9-5+1=5 чисел: 2048-32, 2048-64, 2048-128, 2048-256 и 2048-512.

ответ: 5 чисел