Числа от 1 до 1992…1992 (число 1992 повторено 1992 раза) записаны на отдельных карточках. можно ли разделить эти карточки на три группы таким образом, чтобы сумма чисел на карточках второй группы была на 33 больше, чем на карточках первой группы, а сумма чисел в третьей группе на 102 больше, чем во второй группе?

115

183

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

Убийца967

Алгебра

4,4(22 оценок)

отметим известный факт, что сумма первых n натуральных чисел

1+2+3+…+n=n(n+1)/2 (при необходимости этот факт легко доказывается наример по принципу индукции)

33+102=135

135+33=168

168*2=336, 336> 324=18*18, 336< 576=24*24

рассмотрим первые 24 натуральных числа

1, 2, 3,…, 18, 19, 20, 21,22, 23, 24

их сумма 24*(24+1): 2=300

300-135-33=132=3*44

в первой группе должно быть х (44)

во второй группе должно быть х+33 (77)

в третьей группе должно быть х+33+102=х+135 (179)

разобьем пока на равные по общей сумме группы

1, 6, 7, 12, 13, 18, 19, 24

2,5, 8, 11, 14, 17, 20, 23

3,4,9,10, 15,16, 21, 22

перегруппируем

а –группа 1,12,13,18 сумма 44

[2,5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 6,7, 19, 24]

в- группа 2,5, 11, 17, 19 ,23, сумма 77

с –группа 3,4,6, 7, 8,9,10, 14,15,16, 20, 21, 22, 24 сумма 179

далее все числа, начиная с 25 и заканчивая 19921992…1992 (число 1992 повторено 1992 раза) разбиваем по остаткам деления на 6

если остаток от деления числа на 6 будет 1 или 0 (число делиться нацело, кратно 6), то оно попадает в первую группу

если остаток от деления числа на 6 будет 2 или 5 – во вторую группу

если остаток от деления числа будет 3 или 4 – в третью группу.

так как 25 дает остаток 1, а число 19921992…(число 1992 повторено 1992 раза) остаток 0, то у нас не будет неполной партии разбиения на группу из 6 последовательно идущих чисел.

25, 26, 27, 28, 29, 30 – первая группа

19921992…(число 1992 повторено 1992 раза)-5, …., 19921992…(число 1992 повторено 1992 раза) – последняя такая группа из 6

то, что число 19921992…(число 1992 повторено 1992 раза) делиться нацело на 6 следует из признаков делимости на 2 и на 3,

четное (последняя цифра 2) – делиться нацело на 2.

сумма цифр числа 19921992…(число 1992 повторено 1992 раза) равна 1992*(1+9+9+2)=1992*21=1992*7*3 а значит кратна 3, и само число делиться нацело.

2 и 3 взаимно просты, значит число 19921992…(число 1992 повторено 1992 раза) делиться нацело на 6.

при таком разбиение мы получим три группы чисел с равной суммой.

это следует из того, что каждую такую 6-ку чисел можно представить в виде

6k+1, 6k+6 (первая группа), 6k+2,6k+5 (вторая группа), 6k+3, 6k+4 (третья группа), где k-некоторое натуральное число, например для группы 25,26,27,28, 29,30, k=4 и т.д.

суммы в которых попарно равны

12k+7=(6k+1)+(6k+6)=(6k+2)+(6k+5)=(6k+3)+(6k+4)

и окончательно добавив в первую группу чисел – числа группы а, во вторую – числа группы b ? в третью – числа группы с, получим вариант возможного запрашиваемого разбиения всего ряда чисел от 1 до числа 19921992…(число 1992 повторено 1992 раза) с указанным свойством

(так как суммы будут вести себя при сравнение как числа в группах а,в,с )

ответ: можно