Можно ли квадрат натурального числа записать с 3 единиц, 4 пятерок и любого количества нулей?
Ответы на вопрос:
используем свойство: a≡s(a) (mod 9), где а - число, s(a) - сумма цифр числа. при этом, естественно, верно и s(a)≡s(s(a)) (mod 9) и т.д. по сути, конечная сумма числа(сумма его цифр, к одной цифре. пример: 169; 1+6+9=16; 1+6=7; 7 - и есть конечная сумма) равна его остатку от деления на 9( если число не кратно 9) или 9(если число кратно 9).
рассмотрим возможные остатки от деления чисел вида x² на 9.
1) x≡1(mod 9) → x²≡1*1(mod 9)≡1( mod 9)
2) x≡2(mod 9) → x²≡2*2(mod 9)≡4(mod 9)
3) x≡3(mod 9) → x²≡3*3(mod 9)≡0(mod 9)
4) x≡4(mod 9) → x²≡4*4(mod 9)≡16(mod 9)≡7(mod 9)
5) x≡5(mod 9) → x²≡5*5(mod 9)≡25(mod 9)≡7(mod 9)
6) x≡6(mod 9) → x²≡6*6(mod 9)≡36(mod 9)≡0(mod 9)
7) x≡7(mod 9) → x²≡7*7(mod 9)≡49(mod 9)≡4(mod 9)
8) x≡8(mod 9) → x²≡8*8(mod 9)≡64(mod 9)≡1(mod 9)
9) x≡0(mod 9) → x²≡0(mod 9)
как видим, могут быть следующие остатки при делении на 9 квадратов натуральных чисел: 0; 1; 4 и 7. то есть конечная сумма любого квадрата равна одному из этих чисел( но в случае, если остаток равен 0, конечная сумма равна 9)
теперь найдем конечную сумму нашего числа. 3*1+4*5+n*0=3+20=23; 2+3=5. то есть конечная сумма равна 5, чего не может быть, если искомое число квадрат. противоречие. значит числа, удовлетворяющего условиям , не существует.
Популярно: Математика
-
1Кat326.05.2020 11:23
-
alicegluskin19.02.2023 01:41
-
Пес2427.01.2021 09:40
-
Digger200115.07.2020 03:00
-
lebedevan18927.04.2020 13:56
-
Karinaa1111101.11.2021 23:45
-
Sonyvega122.05.2020 23:00
-
geometriya313.07.2021 22:16
-
antonzagarinp00ule15.05.2020 09:33
-
DanyaHD12.06.2023 05:24