Математика: Найти решения уравнения a*(a^2-1)=2b^2 в натуральных числах

думка3

10.01.2023 12:36

Математика

Есть ответ 👍

Найти решения уравнения a*(a^2-1)=2b^2 в натуральных числах

135

401

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

helpplizzzz

Математика

4,6(78 оценок)

заметим, что a и a^2 - 1 взаимно просты. тогда, поскольку 2 должно входить в разложение этих двух чисел на простые множители в нечётной степени, а все остальные простые делители – в чётной, есть два возможных варианта: либо a = m^2 и a^2 - 1 = 2n^2, либо a = 2m^2 и a^2 - 1 = n^2.

1) a = m^2, a^2 - 1 = 2n^2, т.е. m^4 - 1 = 2n^2

(m - 1)(m + 1)(m^2 + 1) = 2n^2

очевидно, m нечётно. подставим m = 2a - 1:

2(a - 1) * 2a * 2(2a^2 - 2a + 1) = 2n^2

4(a - 1) a (a(a - 1) + 1) = n^2

n – чётное. подставляем n = 2b:

(a - 1) a (a(a - 1) + 1) = b^2

поскольку три множителя в левой части попарно взаимно просты, а их произведение – полный квадрат, то каждый сомножитель – полный квадрат. но тогда a - 1 и a – полные квадраты, отличающиеся на единицу, таких квадратов в натуральных числах нет.

2) a = 2m^2, a^2 - 1 = n^2

a^2 - n^2 = 1

(a - n)(a + n) = 1

a + n ≤ 1 – так не бывает для натуральных чисел.

ответ. натуральных решений нет