failbulkhin2017

11.11.2021 04:09

Геометрия

Есть ответ 👍

Свойства вписанного угла. формулировка и доказательство

131

380

Посмотреть ответы 3

Ответы на вопрос:

Rashmed

Геометрия

4,5(19 оценок)

Вписанный угол измеряется половиной дуги на которую он опирается . доказательство : пусть угол авс - вписанный угол окружности с центром о, опирающийся на душу ас. докажем, что угол аос =1/2 дуги ас.

Darina0090

Геометрия

4,5(61 оценок)

напомним некоторые определения

определение:

окружностью с центром в точке о и радиусом r называют множество всех точек плоскости, удаленных от точки о на расстояние r (см. рис. 1).

рис. 1

часть окружности называется дугой.

дуга имеет угловое измерение.

градусная мера дуги равна градусной мере соответствующего центрального угла :

рассмотрим примеры:

рис. 2

определение

угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным.

рис. 3

задана окружность с центром о, вершина а лежит на окружности, стороны ав и ас угла пересекают окружность в точках в и с, угол называется вписанным. он опирается на дугу , эта дуга расположена внутри угла (см. рис. 3).

2. теорема о вписанном угле

вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается (см. рис. 4).

рис. 4

доказательство:

рассмотрим несколько случаев.

случай 1: точка о принадлежит лучу ас (см. рис. 5).

рис. 5

доказать, что

обозначим угол через , тогда угол также будет равен , так как треугольник равнобедренный, его стороны ов и оа равны как радиусы окружности. угол является внешним для треугольника , внешний угол равен сумме двух других углов, не смежных с ним, получаем: , то есть угловое измерение дуги есть . таким образом, мы доказали, что вписанный угол равен половине измерения дуги, на которую он опирается.

случай 2: точка о лежит внутри вписанного угла (см. рис. 6).

рис. 6

доказать, что

доказательство сводится к предыдущему случаю. проведем диаметр ad, обозначим угол за и тогда дуга равна (объяснение см. случай 1). угол за , тогда дуга равна (объяснение см. случай 1). вся дуга равна:

угол в свою очередь, равен .

таким образом, мы доказали, что вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.

случай 3: точка о находится вне вписанного угла (см. рис. 7).

рис. 7

доказать, что

доказательство снова сводится к первому случаю. проведем диаметр ad, обозначим угол через , тогда дуга (объяснение см. случай 1). угол обозначим через , тогда дуга равна (объяснение см. случай 1). дуга является разностью большой дуги и дуги :

вписанный угол равен . таким образом, мы доказали, что вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.

итак, теорема полностью доказана, все случаи рассмотрены. и теперь из этого вытекают важные следствия.

3. следствия теоремы о вписанном угле

следствие 1:

вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны между собой (см. рис. 8).

рис. 8

угол равен , он вписанный и опирается на дугу , значит, дуга равна . но на эту же дугу опираются много других углов, например, углы и , данные углы измеряются половиной градусной меры дуги, значит, они равны , как и угол .

таким образом, получаем:

следствие 2

вписанные углы, опирающиеся на диаметр, прямые (см. рис. 9).

рис. 9

теорема о вписанном угле является ключом к доказательству многих других теорем и к решению многих .

4. теорема о хордах

произведение отрезков каждой из двух пересекающихся хорд есть величина постоянная.

рис. 10

доказать, что

доказательство:

рассмотрим треугольники и (см. рис. 10). данные треугольники подобны по равенству двух углов: равны вертикальные углы и ; вписанные углы и опираются на одну и ту же дугу . выпишем соотношение подобия:

применим свойство пропорции и преобразуем выражение:

, что и требовалось доказать.