Найти частное решение дифференциального уравнения у"+7у'+6у=0 у(0)=1; у'(0)=2

256

366

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

Polhova1606

Математика

4,4(59 оценок)

Пишем характеристическое уравнение: k²+7*k+6=0. оно имеет действительные неравные корни k1=-6, k2=-1. в таком случае общее решение уравнения имеет вид yо=c1*e^(k1*x)+c2*e^(k2*x). в нашем случае yo=c1*e^(-6*x)+c2*e^(-x). дифференцируя это равенство, получаем y'o=-6*c1*e^(-6*x)-c2*e^(-x). подставляя начальные условия, приходим к системе уравнений: c1+c2=1 -6*c1-c2=2 решая эту систему, находим c1=-3/5, c2=8/5. тогда искомое частное решение таково: yч=-3/5*e^(-6*x)+8/5*e^(-x). проверка: yч'=18/5*e^(-6*x)-8/5*e^(-x), yч''=-108/5*e^(-6*x)+8/5*e^(-x). подставляя yч, yч' и yч'' в уравнение, получаем: -108/5*e^(-6*x)+8/5*e^(-x)+126/5*e^(-6*x)-56/5*e^(-x)-18/5*e^(-6*x)+48/5*e^(-x)=0=0, то есть найденное решение удовлетворяет уравнению. теперь находим yч(0)=-3/5+8/5=1 и yч'(0)=18/5-8/5=2, то есть найденное решение удовлетворяет и начальным условиям. значит, оно найдено верно. ответ: yч=-3/5*e^(-6*x)+8/5*e^(-x).