Около шара описана правильная четырехугрльная пирамида высота которой вчетверо больше диаметра шара найти отношение обьема шара к обьему пирамиды

190

484

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

mixa7132ozoc5l

Геометрия

4,5(47 оценок)

Можно выбрать такую систему единиц измерения длин, что сторона квадрата в нижнем основании усеченной пирамиды равна m, а в верхнем n; ясно, что высота пирамиды равна диаметру шара h = d; объем шара vs = (4*π/3)*(d/2)^3 = (π/6)*d^3; объем усеченной пирамиды равен v = (h/3)*(s1 + √(s1*s2) + s2) = (d/3)*(m^2 + m*n + n^2); vs/v = (π/2)*d^2/(m^2 + m*n + n^2); то есть надо найти высоту пирамиды h = d. сечение, проходящее через точки касания шара с основаниями и противоположными боковыми гранями - это равнобедренная трапеция, в которую вписана окружность диаметра h. её основания - это "средние линии" квадратов в основаниях, то есть они равны m и n. по свойству описанных четырехугольников, суммы противоположных сторон равны, то есть боковая сторона этой трапеции равна (m + n)/2; если в этой трапеции из вершины меньшего основания опустить высоту, то она отсечет от большего основания отрезок (m - n)/2; (считая от ближайшей вершины, второй отрезок равен (m + n)/2; ) h^2 = ((m + n)/2)^2 - ((m - n)/2)^2 = m*n; осталось подставить. vs/v = (π/2)*(m*n)/(m^2 + m*n + n^2); это ответ. если положить p = m/n; то vs/v = (π/2)*p/(p^2 + p + 1); подробнее - на -