Алгебра: Решите тригонометрическое уравнение √(1+√2)cos3x=0

tumanovamariam

17.11.2020 17:40

Алгебра

Есть ответ 👍

Решите тригонометрическое уравнение √(1+√2)cos3x=0

152

496

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

kumalena73

Алгебра

4,7(93 оценок)

√(1 + sin 2x) = √(sin^2 x + cos^2 x + 2sin x*cos x) = = √(sin x + cos x)^2 = |sin x + cos x| далее sin x + cos x = √2*(1/√2*cos x + 1/√2*sin x) = = √2*(cos π/4*cos x + sin π/4*sin x) = √2*cos(x-π/4) подставляем √2*|cos(x+π/4)| - √2*cos 3x = 0 делим на √2 |cos(x+π/4)| - cos 3x = 0 1) если cos(x-π/4) < 0, то -cos(x-π/4) - cos 3x = 0 сумма косинусов -2cos((x-π/4+3x)/2)*cos((x-π/4-3x)/2) = 0 -2cos(2x-π/8)*cos(-x-π/8) = 0 a) cos(2x-π/8) = 0 2x-π/8 = π/2+π*n; x = 5π/16+π/2*n но cos(x-π/4) = cos(π/16+π/2*n) < 0 n=1 и n=2 подходят, n=0 и n=3 не подходят x1 = 5π/16+π/2*(4k+1) x2 = 5π/16+π/2*(4k+2) b) cos(-x-π/8) = cos(x+π/8) = 0 x+π/8 = π/2+π*n; x = 3π/8+π*n но cos(x-π/4) = cos(π/8+π*n) < 0 подходят только нечётные n. x3 = 3π/8+π*(2k+1) 2) если cos(x-π/4) = 0, то выполняется система: { cos(x-π/4) = 0 { cos 3x = 0 получаем { x-π/4 = π/2+π*n; x = 3π/4+π*n { 3x = π/2+π*n; x = π/6+π/3*m переменные n и m независимы. но ни при каких n и m эти корни не . поэтому здесь корней нет. 3) если cos(x-π/4) > 0, то cos(x-π/4) - cos 3x = 0 разность косинусов -2*sin((x-π/4-3x)/2)*sin((x+π/4+3x)/2) = 0 -2*sin(-x-π/8)*sin(2x+π/8) = 0 a) sin(-x-π/8) = -sin(x+π/8) = 0 x +π/8 = π*n; x = -π/8+π*n но cos(x-π/4) = cos(-3π/8+π*n) > 0 подходят только четные n x4 = -π/8 + π*2k b) sin(2x+π/8) = 0 2x+π/8 = π*n 2x = -π/8 + π*n; x = -π/16+π/2*n но cos(x-π/4) = cos(-5π/16+π/2*n) > 0 n=0 и n=1 подходят, n=2 и n=3 не подходят.x5 = -5π/16 + π/2*4k x6 = -5π/16 + π/2*(4k+1) ответ: x1; x2; x3; x4; x5; x6 отмечены жирным.