Математика: Исследовать на экстремум функцию: z=x^3+6xy+3y^2-18x-18y

kulaevmasya

24.10.2022 18:40

Математика

Есть ответ 👍

Исследовать на экстремум функцию: z=x^3+6xy+3y^2-18x-18y

258

266

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

Onalbaeva00

Математика

4,6(35 оценок)

Z= x³+6*x*y+3*y²-18*x-18*y 1. найдем частные производные. dz/dx = 3*x²+6*y-18, dz/dy = 6*x+6*y-18. 2. решим систему уравнений. 3*x²+6*y-18 = 0 6*x+6*y-18 = 0 получим: а) из первого уравнения выражаем x и подставляем во второе уравнение: x = -y+3 6*y+3*(-y+3)²-18 = 0 или 3*y²-12*y+9 = 0 откуда y1 = 1; y2 = 3 данные значения y подставляем в выражение для x. получаем: x1 = 2; x2 = 0 б) из первого уравнения выражаем y и подставляем во второе уравнение: y = (-x²/2) + 3 -3*x²+6*x = 0 или 3*x*(-x+2) = 0 откуда x1 = 0; x2 = 2 данные значения x подставляем в выражение для y. получаем: y1 = 3; y2 = 1 количество критических точек равно 2. m1(2; 1), m2(0; 3) 3. найдем частные производные второго порядка. d²z/(dxdy) = 6, d²z/(dx²) = 6x, d²z/(dy²) = 6, 4. вычислим значение этих частных производных второго порядка в критических точках m(x0; y0). вычисляем значения для точки m1(2; 1) a = d²z/(dx²(2; 1)) =12, c = d²z/(dy²(2; 1)) = 6, b = d²z/(dxdy(2; 1)) = 6, ac - b² = 72 - 36 = 36 > 0 и a > 0 , то в точке m1(2; 1) имеется минимум: z(2; 1) = -31. вычисляем значения для точки m2(0; 3) a = d²z/(dx²(0; 3)) =0, c = d²z/(dy²(0; 3)) = 6, b = d²z/(dxdy(0; 3)) = 6, ac - b² = 0 - 36 = -36 < 0, то экстремума нет. вывод: в точке m1(2; 1) имеется минимум z(2; 1) = -31;