20 ! 10 класс известно, что множество значений параметра b, при которых число 2 лежит между корнями уравнения x^2-10bx+81b^2+2b-12=0, является промежутком. найти его длину (с точностью до третьего знака после запятой).

182

333

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

msganny

Математика

4,7(79 оценок)

Решим уравнение как обычное квадратное. x^2 - 10b*x + (81b^2 + 2b - 12) = 0 d/4 = (-5b)^2 - (81b^2 + 2b - 12) = 25b^2 - 81b^2 - 2b + 12 = -56b^2 - 2b + 12 два корня есть, когда d/4 > 0 -56b^2 - 2b + 12 > 0 56b^2 + 2b - 12 < 0 d = 2^2 - 4*56(-12) = 4 + 2688 = 2692 = (2√673)^2 b1 = (-2 - 2√673)/112 = (-1 - √673)/56 ≈ -0,48; b2 = (-1 + √673)/56 ≈ 0,44 b ∈ - √673)/56; (-1 + √673)/56) - при этих b у уравнения 2 корня. но нам надо, чтобы один корень был меньше 2, а другой больше 2. { x1 = 5b - √(-56b^2 - 2b + 12) < 2 { x2 = 5b + √(-56b^2 - 2b + 12) > 2 корень арифметический, то есть неотрицательный. оставляем корни отдельно { 5b - 2 < √(-56b^2 - 2b + 12) { √(-56b^2 - 2b + 12) > 2 - 5b 1) если b < = 2/5 = 0,4, то первое неравенство верно при любых b ∈ одз. потому что будет 5b - 2 < = 0. значит, b ∈ - √673)/56; 0,4] второе неравенство возводим в квадрат -56b^2 - 2b + 12 > 4 - 20b + 25b^2 81b^2 - 18b - 8 < 0 d/4 = 9^2 - 81*(-8) = 81 + 648 = 729 = 27^2 b1 = (9 - 27)/81 = -18/81 = -2/9 ≈ -0,222 > (-1 - √673)/56 ≈ -0,48 b2 = (9 + 27)/81 = 36/81 = 4/9 ≈ 0,444 < (-1 + √673)/56 ≈ 0,445 но b < = 0,4, поэтому b ∈ (-2/9; 0,4] - это решение. 2) если b > = 0,4, то второе неравенство верно при любых b ∈ одз. потому что будет 2 - 5b < 0. значит, b ∈ [0,4; (-1 + √673)/56) первое неравенство возводим в квадрат 25b^2 - 20b + 4 < -56b^2 - 2b + 12 81b^2 - 18b - 8 < 0 неравенство получилось такое же, и решение у него такое же: b ∈ (-2/9; 4/9) промежуток b ∈ [0,4; (-1 + √673)/56) входит в это решение, поэтому b ∈ (0,4; (-1 + √673)/56) - это решение. ответ: промежуток: b ∈ (-2/9; (-1 + √673)/56) длина этого промежутка с точностью до 3 знаков после запятой: 0,44539 + 0,22222 = 0,66761 ≈ 0,668