Найдите трехзначное положительное число, если его цифры образуют прогрессию со знаменателем, отличным от единицы, а цифры числа, меньшего на 200, образуют арифметическую прогрессию

235

418

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

kazinka9

Алгебра

4,8(26 оценок)

Пусть цифры x, y, z составляют искомое число 100x + 10y + z. пусть также цифры x, y, z образуют прогрессию со знаменателем q, т.е. y = x*q, z = x*q². когда из искомого числа вычли 200, то цифры y и z остались без изменения на своих местах, а первая цифра x уменьшилась на 2. значит, арифметическую прогрессиию составляют цифры: x - 2, y, z. пусть d - шаг арифметической прогрессии. тогда: первый член арифметической прогрессии (х-2), второй - (х - 2 + d), третий - (x - 2 + 2d). т.к. последние две цифры числа не изменились при вычитании 200, то можем приравнять: x*q = x + d - 2 x*q² = x + 2d - 2 используем характеристическое свойство прогрессии: т.к. шаг d д.б целым (цифры же целые), выражение под корнем 2x д.б. квадратом. это возможно только при двух значения х = 2 и х = 8. однако первая цифра числа не м.б. равна 2, т.к. при вычитании 200 получится двузначное число. остаётся, х = 8. первый шаг d = 6 не подходит, т.к. при таком шаге мы выйдем из множества цифр. остаётся, d = -2. для нахождения q и х используем систему уравнений, куда подставим найденное значение d = -2: итак, найдена первая цифра числа 8 и знаменатель прогрессии 1/2. значит, следующие цифры 4 и 2, а все число 842. проверяем. вычтем 200: 842 - 200 = 642. как видим, последовательность 6, 4, 2 образует арифметическую прогрессию с шагом минус 2. ответ: 842