Найдите сумму всех натуральных чисел от 1 до 75 включительно , при делении квадратов которых на 3 получается остаток , равный 1

127

168

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

Регина56797

Алгебра

4,5(18 оценок)

все числа от 1 до 75 делятся на три группы.

1) целые числа, которые делятся на 3 без остатка: 0, 3, 6, 9, 12, …72,75. они представимы в виде n=3k, где kϵz

2) целые числа, которые делятся на 3 c остатком 1: 1, 4, 7, 10, 13, …73. они представимы в виде n=3k+1, где kϵz

2) целые числа, которые делятся на 3 c остатком 2: 2, 5, 8, 11, 14, …74. они представимы в виде n=3k+2, где kϵz

выясним, какие остатки имеют квадраты чисел каждой группы.

1) n²=(3k)²

квадраты чисел первой группы делятся на 3 без остатка.

2) n²=(3k+1)²=9k²+6k+1=3*(3k²+2k)+1.

квадраты чисел второй группы делятся на 3 с остатком 1.

3) n²=(3k+2)²=9k²+12k+4= 9k²+12k+3+1=3*(3k²+4k+1)+1.

квадраты чисел третьей группы делятся на 3 с остатком 1.

теперь найдём сумму s₁ всех чисел от 1 до 75, а затем вычтем сумму s₂ всех чисел, которые делятся на 3 без остатка, и получим искомую сумму s всех натуральных чисел от 1 до 75 включительно, при делении квадратов которых на 3 получается остаток, равный 1.

1) hайдём сумму s₁ всех чисел от 1 до 75 по формуле суммы членов арифметической прогрессии:

s= (a₁+an)*n/2

а₁ = 1

а₇₅= 75

n = 75

s₁= (1+75)*75/2 = 2850

2) hайдём сумму s₂ всех чисел от 3, 6, 9, …,72, 75 по формуле суммы членов арифметической прогрессии:

s= (a₁+an)*n/2

n = 75: 3=25

а₁ = 3

а₂₅= 75

s₂= (3+75)*25/2 = 975

3) hаконец, найдём сумму s = s₁ - s₂

s = 2850 - 975 = 1875

ответ: 1875

ученик445643

Алгебра

4,8(61 оценок)

(2х - 3)*( 2x + 3 ) - ( 4x + 5)*( x - 3 ) = - 1 4x² - 9 - ( 4x² - 12x + 5x - 15 ) = - 1 4x² - 9 - ( 4x² - 7x - 15 ) = - 1 4x² - 9 - 4x² + 7x + 15 = - 1 7x = - 1 - 6 7x = - 7 x = - 1