Доказать,что при любом натуральном n n^4+3n^3-n^2-3n делится на 6

229

352

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

dasha20079

Математика

4,6(42 оценок)

Число делится на 6, когда оно делится на 2 и на 3. n⁴ + 3n³ - n² - 3n = n(n³ + 3n² - n - 3) = n(n + 3)(n + 1)(n - 1) полученное произведение включает в себя три последовательных натуральных числа: (n - 1)*n*(n + 1) из трех последовательных натуральных чисел одно обязательно делится на 3, следовательно и все произведение будет кратно трем. из этих же трех последовательных натуральных чисел, как минимум, одно будет четным, следовательно и все произведение будет четным, т.е. кратным двум, независимо от величины (n + 3). таким образом, мы доказали, что исходное выражение кратно трем и, одновременно, кратно двум при любом натуральном n, следовательно, оно делится на 6, что и требовалось доказать. p.s. для случая минимального натурального n = 1 все выражение обращается в нуль. так как при делении нуля на любое (не обязательно натуральное) число получается нуль (целое число), то можно утверждать, что нуль кратен любому числу, в том числе и шести.